О неединственности решения однородной краевой задачи для уравнения теплопроводности в угловой области

Abstract

В статье рассмотрена однородная краевая задача для уравнения теплопроводности в вырождающейся угловой области. С помощью потенциалов простого слоя поставленная задача сведена к псевдовольтерровому интегральному уравнению второго рода. Полученное интегральное уравнение решается методом регуляризации. С этой целью выделена характеристическая часть интегрального уравнения. Обоснована неприменимость метода последовательных приближений для его решения. Доказана лемма о сведении полученного интегрального уравнения к уравнению с разностным ядром, и представлено его решение. Приведены оценка для резольвенты уравнения с разностным ядром и условия для ограниченности его решения. Явное представление решения уравнения с разностным ядром при- водит первоначальное интегральное уравнение к уравнению Вольтерра второго рода со слабой особенностью, которое имеет единственное решение. Решение записано в операторной форме. Показано, что поставленная однородная краевая задача имеет ненулевое решение с точностью до постоянного множителя в классе существенно ограниченных функций с определенным весом. Определены классы единственности решения для поставленной краевой задачи.