Теоремы вложения, теоремы о следах и продолжении для анизотропных пространств Никольского-Бесова Bαq(Td)

Abstract

В статье на основе использования интерполяционных свойств анизотропных пространств Лоренца получены неравенства разных метрик и разных измерений для тригонометрических полиномов. На основе теоремы о представлении определены анизотропные пространства Никольского-Бесова Bαq(Td) по метрике анизотропных пространств Лоренца. Заметим, что в случае, когда d = d1, указанные пространства совпадают с классическими изотропными пространствами Никольского-Бесова, а в случае d = (1, . . . , 1) – с анизотропными пространствами Никольского-Бесова, имеющими характер пространств с доминирующими смешанными производными. Описаны элементарные вложения для этих пространств относительно всех параметров, участвующих в их определении. На основе неравенства разных метрик получена предельная теорема вложения для данных пространств относительно сильных параметров. Построен пример, показывающий неулучшаемость условий на параметры пространств для сохранения свойства вложения. На основе неравенства разных измерений получены пре- дельные теоремы о следе и продолжении для функций из рассматриваемых пространств. Отметим,что условия в указанных теоремах также являются неулучшаемыми. В случае d = d1 из полученных теорем вытекают соответствующие результаты, ранее полученные в работах С.М. Никольского и О.В. Бесова для изотропных пространств, а в случае d = (1, . . . , 1) – результаты К.А. Бекмаганбетова и Е.Д. Нурсултанова для анизотропных пространств c доминирующими смешанными производными. Полученные результаты показывают, что рассматриваемые пространства имеют гибридную структуру классических изотропных пространств и анизотропных пространств с доминирующими смешанными производными. А именно функции из указанных пространств имеют одинаковые гладкостные и метрические свойства по переменным, входящим в один блок переменных, и разные гладкостные и метрические свойства относительно переменных, входящих в разные блоки. Полученные в работе результаты в дальнейшем могут быть использованы в теории краевых задач уравнений математической физики, в задачах гармонического анализа и теории приближений в анизотропных пространствах.