Исследование индексов дефекта двучленного минимального дифференциального оператора четвертого порядка с нерегулярными коэффициентами

Abstract

В статье исследованы индексы дефекта минимального полуограниченного сингулярного симметрического двучленного дифференциального оператора L0, порожденного в L2[x0, ∞), x0 > 0, дифференциальным выражением ly = −y(4) + (q(x) + h(x))y, x ∈ [x0; ∞), где q(x) удовлетворяет следующим условиям: функция q(x) является дважды непрерывно-дифференцируемой, функции ql(x) и qll(x) не меняют знак при достаточно большом R > 0 для x > R, а также выполняется |q(x)| → +∞, x → +∞, 4 . В совокупности такие условия принято называть условиями Титчмарша-Левитана, а h(x) – быстро осциллирующее возмущение. Хорошо известно, что если коэффициенты q(x) и h(x) имеют регулярное поведение при x → +∞, то уравнение ly = λy удается сводить к системе линейных дифференциальных уравнений с почти диагональной матрицей,а затем с помощью известной теоремы Левинсона строить асимптотику решений. В свою очередь,асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения ly = λy содержат важную информацию об индексах дефекта оператора L0, о качественных спектральных свойствах самосопряженных расширений оператора L0. В работе [1] были получены асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения ly = λy с коэффициентами, отличными от регулярных. В этой работе для исследования индексов дефекта оператора L0 используются полученные в работе [1] асимптотические формулы.