2. (2х2), (mx2) және (2хn) түріндегі қарапайым ойындарды шешу

 

Матрицалық ойындардың ішіндегі ең қарапайымы - әрбір ойыншының екі стратегиясы бар ойын. (2х2) ойынның құн матрицасы келесі түрде болады:

(3.2)

Егер ойынның ершікті нүктесі жоқ болса, онда (3.2) ойынның шешімі X=(x1, x2), Y=(y1, y2) түріндегі аралас стратегия болып табылады. 3.3-теоремаға сәйкес ойындар теориясында X=(x1, x2) тиімді стратегиясы А ойыншыға В ойыншының кез келген стратегияларында v ұтысын қамтамасыз етеді. Сондықтан, егер бірінші ойыншы өзінің тиімді стратегиясын пайдаланса, онда екінщі ойыншы өзінің таза стратегияларының бірін пайдалануына болады. Бірақ бірінші ойыншының ұтысы өзгеріссіз қалады. 3.3-теоремаға сәйкес бірінші ойыншы үшін келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

(3.3)

(3.3) жүйенің үшінші теңдеуі ықтималдықтар теориясының тұжырымына сәйкес алынған, яғни салыстырмалы жиіліктер қосындысы 1-ге тең.

(3.3) жүйені шешу арқылы келесі шешімдерді аламыз:

х1 және х2 мәндерін (3.1) жүйенің кез келген бір теңдеуіне қою арқылы ойынның бағасын аламыз:

(3.4)

В ойыншы үшін де осыған ұқсас теңдеулер жүйесі құрылады

(3.5)

(3.5) жүйені шешу арқылы екінші ойыншының тиімді стратегиясын анықтаймыз.

Мысал 1. Келесі матрица арқылы берілген ойынның шешімін анықтаңыз:

Шешуі. Ең алдымен берілген ойынның ершікті нүктесі бар немесе жоқ екенің анықтаймыз. Ол үшін әрбір жолдың ең кіші элементтерін (3 және 5) және әр бағананың ең үлкен элементтерін (6 және 7) табамыз. Сонымен, ойынның төменгі шекарасы α=mах(3;5)=5, ал жоғарғы бағасы β=min(6;7)=6. α=5≠β=6 болғандықтан ойынның шешімі аралас стратегия болады және ойынның бағасы 5ЈvЈ6 аралығында болады.

А ойыншы үшін (3.3) жүйені құрамыз:

Бұл жүйені шешу арқылы Х=(1/5; 4/5), v=27/5 шешімдерін аламыз.

В ойыншы үшін (3.5) түріндегі қысқартылған жүйені құрамыз:

Жүйені шешу арқылы Y=(2/5, 3/5) шешімін аламыз.

Жауабы: Х=(1/5, 4/5), Y=(2/5, 3/5), v=27/5.

(2xn) немесе (mx2) ойындарын шешу үшін алгоритмі төменде көрсетілген графикалық әдіс қолданылады.

Графикалық әдістің алгоритмі

1. Екінші (бірінші) ойыншының стратегияларына сәйкес келетін түзулерді саламыз.

2. Ұтыстың төменгі (жоғарғы) шекарасын анықтаймыз.

3. Максимальды (минимальды) ординаталы нүктеде қиылысатын екі түзуге сәйкес келетін, екінші (бірінші) ойыншының екі стратегиясы таңдап алынады.

4. Ойынның бағасын және тиімді стратегияны анықтаймыз.

Басқаша айытқанда, (2хn) и (mх2) түріндегі ойындар графикалық әдіс арқылы (2х2) ойынға келтіріледі және (3.3) және (3.5) жүйені шешеміз.

Мысал 2. Келесі матрица арқылы берілген ойынның шешімін анықтаңыз:

Шешуі. Бұл ойында бірінші ойыншының екі стратегиясы А=(А1,А2), ал екінші ойыншының үш стратегиясы В=(В1, В2, В3) бар. Кез келген ойынды шешу оның ершікті нүктесі бар немесе жоқ екендігін анықтаудан басталады. Ол үшін оның төменгі және жоғарғы шекарасын анықтаймыз:

a=max(3, 2)=2; b=min(10, 7, 11)=7.

Бұл ойында a№b болғандықтан, оның ершікті нүктесі жоқ. Бұл әрбір ойыншы аралас стратегияны пайдалану керектігін және ойынның бағасы 3Ј nЈ7 аралдығында болу керектігін білдіреді. Бұл ойынның графикалық кескінделуінің негізі мынада: х осінің бойында кез келген бірлік кесінді саламыз. Осы кесіндінің ұштарына масштабталған (ОА1) және (1А2) перпендикулярларын тұрғызамыз. Одан кейін екінші ойыншының стратегияларына сәйкес келетін (В1В1), (В2В2) және (В3В3) түзулерін саламыз (Сур.3.1).

Сурет 3.1. (2х3) ойынның графикалық кескінделуі

 

В2МВ1 (қалың қою тұзу) сыңығы максимальды ординатасы бар ұтыстың төменгі шекарасына сәйкес келеді. Графиктен көрініп тұрғандай М нүктесі (В1В1) және (В2В2) түзулерінің қиылысуы болады. Сондықтан екінші ойыншының тиімді стратегиялары бірінші және екінші стратегиялар. Сонымен, екінші ойыншының В3 стратегиясын қарастырмаймыз және (2х2) ойының аламыз, яғни

Бұл ойынның бағасы 3 жіне 7 сандарының ортасында болады. (3.3) формула бойынша бірінші ойыншы үшін келесі жүйені құрамыз:

және оны шешсек, онда Х=(5/12, 7/12), ал ойынның бағасы n=16/3.

(3.5) формула бойынша екінші ойыншы үшін келесі жүйені құрамыз:

Бұл жүйені шешсек, онда y1=1/3; y2=2/3.

Жауабы: Х=(5/12, 7/12); Y=(1/3, 2/3, 0); n=16/3.

Мысал 3. Матрицалық ойынды шешіңіз:

Шешуі. Матрицаның өлшемі (2х3) болады. Төменгі баға a=5, ал жоғарғы баға b=8 болғандықтан, ойынның бағасы 5ЈnЈ8. В ойыншының стратегияларына сәйкес келетің түзулерді саламыз (сур.3.2). В2КМВ1 сыңығы А ойыншының төменгі шекарасына, ал МN кесіндісі ойынның бағасынасәйкес келеді.

(В1В1) және (В3В3) түзулерінің қиылысуында орналасқан М нүктесі ең жоғарғы ордината болып табылады. В2 стратегияны қарастырмаймыз және келесі (2х2) ойынды аламыз:

.

Бұл ойынды шешсек, онда Х=(3/8;5/8), Y=(1/2;1/2), n=13/2.

Сурет 3.2. (2х3) ойынның геометриялық кескінделуі

 

Жауабы: Х=(3/8, 5/8); Y=(1/2, 0, 1/2); n=13/2.

Мысал 4. Келесі матрицамен берілген ойынды шешіңіз:

Шешуі. Алдыңғы қарастырған мысалдардан айырмашылығы, мұнда (3х2) ойыны қарастырылады, яғни бірінші ойыншының үш стратегиясы, ал екінші ойыншының екі стратегиясы бар. Есептің шешімін В ойыншы үшін анықтаймыз және a=7, ал b=8.

Сурет 3.3. (3х2) ойынның графикалық кескінделуі

 

3.3-суреттегі түзулер А ойыншының стратегияларына сәйкес келеді. Қою қара сызық арқылы А ойыншының ұтысының жоғарғы шекарасы көрсетілген. КN кесіндісі ойынның бағасын анықтайды. А ойыншының бірінші және екінші стратегиялары тиімді стратегиялар болып табылады. Онда А3 стратегиясын сызып тастағаннан кейінгі

ойынның шешімі Х=(5/7, 2/7); Y=(6/7, 1/7) және ойынның бағасы n=51/7 түрінде болады.

Жауабы: Х=(5/7, 2/7, 0); Y=(6/7, 1/7); n=51/7.

Мысал 5. Келесі матрицамен берілген ойынның шешімін анықтаңыз:

Шешуі. Графикалық шешімі келесі түрде болады:

Сурет 3.4 (3х2) ойынның геометриялық кескінделуі

 

Ойынның ершікті нүктесі жоқ. 3.4-суреттен көрініп тұрғандай ойынның бағасы 6ЈnЈ9. Қажеттілігі аз А1 стратегиясын ойынның алып тастасақ, онда келесі ойынды аламыз:

.

Бұл ойынды шешсек, онда х2=х3=1/2; y1=5/8, y2=3/8; n=15/2.

Жауабы: Х=(0,1/2, 1/2); Y=(5/8, 3/8); n=15/2.

Матрицалық ойындарға келтірілетін бірнеше экономикалық есептерді қарастырайық.

Есеп 1. Айталық ауылшаруашылық бригадасы үш дақылдың біреуін себетін болсын:: А1, А2 немесе А3. бұл дақылдардан алатын өнім ауа-райынан тәуелді. Егер Аi дақылының бір центрінен бағасы аi және ауа-райына (жаз жаңбырлы, қалыпты немесе құрғақ болатындығы туралы алдын-ала ешқандай мәлімет жоқ) байланысты әрбір дақылдың орташа өнімділігі белгілі болса, онда неғұрлым көп пайда табатындай етіп осы дақылдардың қайсысын себу керектігін анықтау керек.

Ауылшаруашылық бригадасында (бірінші ойыншы) үш стратегиясы бар: А1, А2 немесе А3 дақылдарын себу. Оның қарсыласы – табиғат (екінші ойыншы), оның да үш стратегиясы бар: құрғақ, қалыпты немесе жаңбырлы. Бірінші ойыншының ұтысы ретінде өз өнімдерін өткізуден түсетін пайданы алайық. Бірінші ойыншының ұтыс матрицасы келесі түрде болады:

 

мұндағы дақылдың ауа райының жағдайындағы өнімділігі.

Есеп 2. Тігін фабрикасы киімннің жаңа үлгісін шығарады. Бұл киім үлгісіне сұранысты дәл анқытау мүмкін емес. Бірақ оның шамасы үш мүмкін болатын жағдайлармен сипатталуы мүмкін (І, ІІ, ІІІ). Осы жағдайларды ескере отырып, бұл үлгіні өндірудің үш моделі (А, Б, В) қарастырылады. Осы үш варианттың да өз шығындары бар және үлгіні өндіруден түсіретін пайдалары да әртүрлі. Сұраныс жағдайларына сійкес келетін және берілген көлемдегі үлгіні өндіруден түсетін пайда (мың ш.б.), келесі матрица арқылы анықталады:

.

Кез келген сұраныс жағдайында орташа көлемдегі пайда түсіретін, киім үлгісін өндіру көлемін анықтау керек.

Есеп 3. Аяқ киім фабрикасы етіктің екі үлгісін А және В өндіруді жоспарлайды. Бұл үлгілерге деген сұраныс белгісіз. Бірақ та, оларға деген сұраныс екі жағдайға тәуелді болуы мүмкін (І және ІІ). Осы жағдайларға байланыс фабриканың пайдасы әртүрді және келесі матрицамен анықталады:

.

Кез келген сұраныс жағдайында орташа көлемдегі пайда түсіретін, етік үлгілерінің өндірудің тиімді ара қатынасын анықтау керек.

Есеп 4. Сауда ұйымының қоймасында бір бұйымнның n түрі бар. Дүкенге осы бұйымнның n түрінің біреуін ғана әкелу керек. Дүкенге пайда әкелетін түрін таңдап алу керек. Егер түрдегі бұйым сұранысқа ие болатын болса, онда дүкен оны сатудан пайда табады. Егер бұл түрдегі бұйым сұранысқа ие болмаса. Онда дүкен оны сақтау арқылы шығын көреді. Сатып алушының сұранысы белгісіз болған жағдайда, бұйым түрлерін дүкенге әкелу ойын есебі арқылы тұжырымдалады. әрбір жақтын п стратегиясы бар. бұйымды түрін әкелу бірінші ойыншының стратегиясы, ал бұйым түріне деген сұраныс екінші ойыншының стратегиясы болады. Бірінші ойншының ұтыс матрицасы келесі түрде болады:

 

 

Қысқаша қорытындылар.

1. Егер (mxn) матрицасының, дербес жағдайда (2х2) матрицасының ершікті нүктесі бар болса, онда ойынды шешу осы ершікті нүктені табуға әкеледі.

2. Егер (2х2) ойынның ершікті нүктесі жоқ болса, онда матрицалық ойынның шешімі (3.3) және (3.5) формулалар арқылы анықталады.

3. Егер (2хn) немесе (mx2) ойыны берілсе, онда есептің шешімін графикалық әдіспен анықтайиыз.

4. Егер (mxn) матрицасының ершікті нүктесі жоқ болса, онда оның шешімі сызықтық программалау әдістерімен анықталады.