VI тарау. Ойындар теориясына кіріспе

 

1. Ойындар теориясының негізгі түсініктері және анықтамалары

 

Ойындар теориясы – келіспеушілік жағдайлардың математикалық теориясы. Экономикалық жарыстар, спорттық кездесулер, карталық ойындар, соғыс операциялары келіспеушілік жағдайларына мысал бола алады.

Ойындар теориясында арнайы терминология қолданылады.

Ойыншылар – келіспеушілік жағдайларға қатысатын жақтар.

Ұтыс (ұтылыс) – келіспеушілік нәтижесі.

Жүріс – ұсынылған ережелердің біреуін таңдап алу және оны жүзеге асыру.

Стратегия – ойыншы өзінің таңдауын жасайтын жоспар.

Тиімді стратегия – орташа максимальды ұтысты (орташа минимальды ұтылысты) беретін стратегия.

Егер келіспеушлікте бірнеше жақтар бар болып, олардың әрқайсысы берілген ережелер жиынынан бірқатар шешім қабылдаса және олардың әрқайсысына, төлем деп аталатын, келіспеушлік жағдайдың мүмкін болатын соңғы нәтижесі белгілі болса, онда ойын бар деп атайды. Ойындар теориясының есептері, ойыншының ойынды жүргізү сызығынан ауытқуы, осы ойыншының ұтысын тек ғана азайтуы мүмкін жағдайын таңдап алуға негізделген.

Анықтама 3.1. Егер қатысушы жақтардың қызығушылықтары толығымен немесе жартылай қарама қарсы болса, онда жағдай келіспеушілікте деп аталады.

Анықтама 3.2. Ойын — кем дегенде екі жақ (ойыншы) қатысатын нақты немесе формальды келіспеушілік. Олардың әрқайсысы өз мақсаттарына жету үшін әртүрлі жолдарды таңдайды.

Анықтама 3.3. Егер ойынға тек екі жақ (екі ойыншы) қатысса, онда ойын жұптық ойын деп, керісінше жағдайда көпшілік ойын деп аталады.

Әрі қарай біз бірінші ойыншы (А ойыншы) әрқашан ұтады, ал екінші ойыншы (В ойыншы) әрқашан ұтылады деп жорамалдаймыз.стратегиялық ойыннның ең қарапайым түрі ол екі ойыншының нөлдік қосындысы бар ойын (бірінші ойыншының ұтысы екінші ойыншының ұтылысына тең, яғни екеуінің қосындысы нөлге тең). Біз нөлдік қосындысы бар жұптық ойындарды қарастырамыз.

Айталық екі ойыншы бар болсын. Олардың біреуі өзінің мүмкін болатын m стратегияларының ішінен i- стратегияны , ал екіншісі бірінші ойыншы қандай стратегияны таңдап алғаның білмей, өзінің мүмкін болатын п стратегияларының ішінен j- стратегияны таңдап алсын. Нәтижесінде бірінші ойыншы aij шамасын ұтады, ал екінші ойыншы осындай шаманы ұтылады. aij сандарынан матрица құрамыз:

.

А матрицасының жолдары бірінші ойыншының стратегияларына, ал бағандары екінші ойыншының стартегияларына сәйкес келеді. Бұл стратегиялар таза стратегиялар деп аталады. А матрицасы төлем матрицасы (немесе ойын матрицасы) деп, ал m жолыжәне п бағаны бар А матрицасы арқылы анықталатынойынды ( m x п) өлшемді матрицалық ойын деп атайды.

Толық анықталмаған жағдай, қандай бір қосымша, ақпараттың жоқ екендігін білдіреді. Мұндай жағдайларды шешудің қандай ережелері бар.

Вальд ережесі (шеттік пессимизм ережесі). -шешімді қарастырғанда, жағдай өте нашар деп жорамалдаймыз (мысалы, ойыншының таңдап алған позициясы екінші жаққа алдын ала белгілі немесе қандай да бір фирмаға ең аз пайда келтіреді), яғни

Енді ең үлкен мәнді қабылдайтын шешімді таңдап аламыз, яғни

.

шамасы ойынның қандай жағдайында да А ойыншының ұтатын ұтысы.

Сэвидж ережесі (минимальды тәуекел ережесі). В ойыншы стратегияларды таңдау барысында келесі принциптерді ескереді: өзінің бірқатар стратегиясын таңдау барысында оның ұтылатын ұтылысы - бағанның максимальды элементінен аспайды, яғни

В ойыншы әртүрлі үшін көптеген мәндерінің ішінен, өзінің ұтылысы ең аз болатын мәнің таңдап алады, яғни

Гурвиц ережесі (жағдайдағы пессимистік және оптимистік тәсілдерді салыстыру ережесі). Максимум қабылданатын шешім қабылданады

мұндағы мәні субъективтік көзқарас бойынша таңдап алынады. Егер параметрінің мәні 1-ге жақынырақ болса, онда Гурвиц ережесі Вальд ережесіне жуық, ал мәні 0-ге жақын болса, онда Гурвиц ережесі Сэвидж ережесіне жуық болады.

Анықтама 3.4. саны ойынның төменгі шекарасы немесе максимин деп, ал оған сәйкес келетін стратегия (жол) максиминдік стратегия деп аталады.

Анықтама 3.5. саны ойынның жоғарғы бағасы немесе минимакс деп, ал ойыншының оған сәйкес келетін стратегиясы (баған) минимакстық деп аталады.

Анықтама 3.6. саны ойынның бағасы деп аталады

Анықтама 3.7. болатын ойын ершік нүктесі бар ойын деп аталады.

Ершікті нүктесі бар ойынның шешімін табу дегеніміз таза стратегия немесе тиімді стратегия деп аталатын максиминдік және минимакстік стратегияны таңдап алудан тұрады. Кез келген матрицалық ойынның мақсаты: ойынның бағасы және әрбір ойыншының тиімді стратегиясын анықтаудан тұрады

Мысал 3.1. Келесі құн матрицасы арқылы берілген ойынның шешімін табу керек

.

Шешуі. Өлшемі (3 х 4) болатын ойынды қарастырамыз, яғни А ойыншының үш стратегиясы (жол), ал В ойыншының төрт стратегиясы (баған) бар. Бірінші ойыншы Вальд ережесін пайдалана отырып ойынның төменгі бағасын анықтайды, яғни әрбір жолдың ең кіші элементтерінің анықтаймыз, одан кейін осы минимальды элементтердің ішінен ең үлкенің анықтаймыз:

Екінші жақ (В ойыншы) Сэвидж ережесін пайдалана отырып ойынның жоғарғы бағасын анықтайды, яғни әрбір бағанның ең үлкен элементің анықтайды, одан кейін осы максимальды элементтердің ішінен ең кішісін анықтаймыз:

Сонымен, , ойынның ершікті нүктесі бар және ойынның бағасы болады. Әрбір ойыншының тиімді стратегиясы таза стратегия болады. Берілген ойынның шешімі А ойыншының ұтысы 2-ден кем болмайтын А2 стратегиясын, ал В ойыншының ұтылысы 2-ден үлкен болмайтын В2 стратегиясын таңдап алуджан тұрады. Ойыншының біреуінің тиімді стратегиядан ауытқуы ұтыстың азаюына (А ойыншы үшін) және ұтылыстың өсуіне (В ойыншы үшін) әкелетінің көру қиын емес.

Жауабы: Х=(0, 1, 0); Y=(0, 1, 0, 0);

Сонымен, егер матрицалық ойынның ершікті нүктесі бар болса, онда ойынның шешімі оңай анықталады.

Егер матрицалық түрде берілген ойынның ершікті нүктесі жоқ болса, онда оның шешімін табу үшін аралас стратегияларды пайдаланады.

Анықтама 3.8. Әрбір компонеті ойыншының сәйкес таза стратегияны пайдалануының салыстырмалы жиілігін білдіретін вектор аралас стратегия деп аталады.

Бұл жағдайда a<b. Әрбір ойыншы үшін минимакстік стратегияны пайдалану a-дан асып кетпейтін ұтысты және b-дан кіші емес ұтылысты қамтамасыз етеді. Әрине әрбір ойыншы үшін ұтысты көбейту (ұтылысты азайту) сұрағы туындайды.

Мұндай шешімді, әрбір ойыншы Нейман теоремасына сәйкес келетін, бірнеше аралас стратегияларды ішінен таңдап алады.

Айталық, А ойыншының тиімді стратегиясы, ал В ойыншының тиімді стратегиясы болсын.

Теорема 3.1. (Нейманның бірінші теоремасы) Нөлдік қосындысы бар кез келген матрицалық ойынның аралас стратегиялы шешімі бар (мұнда таза стратегиялар да бар).

Теорема 3.2. (Нейманның екінші теоремасы) саны ойынның бағасы, ал және — тиімді стратегия болу үшін келесі теңсіздіктердің орындалуы қажетті және жеткілікті

.

Егер Нейманның бірінші теоремасы шешімнің бар екендігін білдірсе, онда оның үшінші теоремасы (2x2), (2xn) және (mx2) ойындарының шешімін қалай анықтау керек екендігін білдіреді.

Теорема 3.3. (Нейманның үшінші теоремасы). Егер ойыншылардың біреуі тиімді аралас стратегияны таңдап алса, онда оның ұтысы, екінші ойыншының тиімді стратегияға күрген стратегияны қандай жиілікпен пайдаланатынынан тәуелсіз, ойынның бағасы -ға тең болады (мұнда стратегиялар да бар).

(3.1)