3. Екі жақты есептің экономикалық интерпретациясы (түсіндірілу)

Егер тура есептің қандай да бір анықталған мазмұнды мәні болса, онда оған сәйкес келетін екі жақты есептін де нақты интерпретациясы болады. Сонымен қатар, екіжақтылық теоремалар да жақсы түсіндіріледі. Мұны келесі мысалда толығырақ қарастырайық [8].

5-мысал. Зауыт төрт түрлі бұйым шығару үшін I, II, III, үш түрлі шикізат қолдануы қажет және олардың қоры жоспарлаған мерзімге дейін сәйкесінше 1000, 600 және 150 ш.б. Төменде келтірілген кестеде техникалық коэффициенттері, яғни әрбір бұйымның түрін өндіруге қажет шикізат шығыны мен оларды өніруден алатын пайда көрсетілген.

 

Шикізат

түрі

Технологиялық коэффициенттер

Шикізат қоры

А1

А2

А3

А4

I

5

1

0

2

1000

II

4

2

2

1

600

III

1

0

2

1

150

Кіріс

(пайда)

6

2

2,5

4

Аталған бұйымдарды өндіру кезінде максимальды пайда келтіретін жоспарды анықтау қажет.

Шешуі. бұйымдарын сәйкесінше х1, х2, х3, х4 арқылы белгілейік. Сонда есептің экономико-математикалық моделі келесі түрде болады:

(2.9)

(2.9) есебін симплекс әдіспен (өзін шеш) шешу келесі нәтижеге әкеледі:

maxF=1050 ш.б., Хопт =(0, 225, 0, 150, 475, 0, 0).

Негізгі есепті тура есеп ретінде қарастырып көрелік және оған екі жақты есеп құрайық. у1, у2, у3 айнымалыларын енгізе отырып, келесі екі жақты есепті аламыз.

(2.10)

(2.10) екі жақты есебінің шектеулерінің теңсіздіктер жүйесін мына теңдеулер жүйесіне келтіреміз.

Екі жақты есептің шешімі теорема бойынша мына түрге ие: minZ=1050; Yтиім=(0, 1, 3. 1, 0, 11/2, 0).

Тура және екі жқты есептерге қатысты айнымалыларды жазайық:

Екі жақты есептің тиімді шешімі у1, у2, у3 компоненттері тұра есептің қосымша айнымалылары х5, х6, х7–ні бағалайды. Тиімді шешімдегі у1 айнымалысының нөлге тең болғандығы тура есептің тиімді шешімінде x5 айнымалысының оң екенін көрсетеді немесе тиімді шешім компоненттерін тура есептің шектеулер жұйесінің бірінші теңсіздігіне қойғанда ол оны қатан теңсіздікке айналдырмайды.

у2 және у3 айнымалылары оң, ал оларға сәйкес келетін тура есептің айнымалылары х6, х7, тура есептің тиімді шешімінде нөлге тең болады. Тура есептің екінші және үшінші теңсіздіктерінде тиімді шешімнің компонентін ауыстыру оларды қатаң теңсіздікке айналдырады.

Бұл жағдайдың экономикалық мағынасы мынада: I түрдегі шикізат бізде артығырақ, IІ және III түрдегі шикізаттар сирек кездеседі, сондықтан шикізаттың бұл түрлерін кейбір оң бағамен бағалаймыз (у2=1, у3=3).

өнімдерін сатудан өндіріске келтіретін пайданы шикізаттың қандай түрі көп әкеледі деген сұрақ туады. Мұнда өндірістің шикізатты сатып алудағы бағасы емес, шикізат қорының өзгеруіне байланысты максимальды пайда әкелетін шикізаттың салыстырмалы бағасы қажет.

І, ІІ және ІІІ шикізат түрлерінің бағалылығы максималды табыстың өсуімен анықталады, мысалы і-ші қор түрімен. 4-ші теорамаға сәйкес . Берілген формулада уi – екі жақты есептің тиімді шешімінің компоненті. Екі жақты есептердің айнымалыларын көбінде обьективті шарттыланған бағалар деп атайды.

Екі жақты есептің тиімді шешіміне оралайық. Мұнда біз бұл шешімнің, І,ІІ,ІІІ шикізат түрлерінің қалдық шамаларын өрнектейтін тура есептің х5, х6, х7 қосымша айнымалыларына сәйкес келетін, бастапқы үш компоненті у1=0, у2=1, у3=3 –ке назар аударамыз.

Егер әрбір шикізат түрінің қорлары өсетін болса, өнімдерді шығарудың тиімді жоспары қалай өзгереді деген сұраққа жауап берейік.

Айталық І шикізат түрінің қоры 100 шарты бірлікке өсетін болсын. (8)-ші формуланы пайдаланып мынаны аламыз,

яғни табыс өспейді тиімді шешім өзгермейді.

ІІ-ші шикізат түрінің қорын 100 шартты бірлікке өсірсек, онда

Шектеулер жүйесінің екінші теңсіздігінің оң жағын өзгертіп, яғни

тура есепті симплекс әдісімен шешеміз. Сонда, Хопт=(0, 275, 0, 150, 425, 0, 0) тиімді шешімін аламыз.

ІІІ-шикізат түрін 100 шартты бірлікке көбейтіп алатынымыз,

Сонымен өзгертілген шарттардағы максимальды пайда 1350 ш.б., тиімді шешім Хопт=(0, 175, 0, 250, 325, 0, 0).