Екі жақты есептің әрбір жұбы сызықтық программалаудың дербес есебі болып табылады және олар бір –бірімен тәуелсіз шешіледі. Алайда есептің біреуінің тиімді жоспарың симплекстік әдісі арқылы анықтау кезінде екіншісінің де шешімі табылуы мүмкін. Тура және екі жақты есептің арасындағы тәуелділік екіжақтылықтың төмендегі теоремаларымен сипатталады.

Теорема 2.1. Егер қос екі жақты есептің біреуінің тиімді жоспары бар болса, онда екінші есептің де тиімді жоспары бар болады және мақсаттық функцияның мәндері өзара тең, яғни

(2.5)

Егер қос екі жақты есептің біреуінің мақсаттық функциясы шектелмеген болса, онда екінші есептің жоспары болмайды.

Теорема 2.2. Егер X* = (x₁*, х₂*, ..., х_n*) тура есептің тиімді жоспары болса, онда екі жақты есептің тиімді жоспары Y* = (y₁*, y₂*, … , y_m*) болады, сонымен бірге

. (2.6)

мұндағы С_Б^* тиімді кестенің жолдық вектор түрінде жазылған С_Б қатарының векторы. Р^-1 матрицасы бастапқы базис матрицасына қатысты тиімді кестеден алынған кері матрица.

Теорема 2.3. Кез келген j (j=1,n) үшін

(2.7)

теңдігі орындалса ғана X* = (x₁*, х₂*, ..., х_n*) жоспары тура есептің, ал Y*=(y1*, y2*, … , ym*) екі жақты есептің тиімді жоспары болады.

Теорема 2.4.(баға туралы теорема). Екі жақты есептің тиімді шешімінің y_i айнымалыларының мәндері, тура есептің шектеулер теңсіздігінің b_i бос мүшелерінің F_max шамасына әсер етуін бағалау болып табылады. Яғни,

(2.8)

Қос екі жақты есептің геометриялық интерпретациясы (түсіндірілуі). Егер берілген қос тура және екі жақты есептін айнымалылар саны екіге тең болса, онда сызықтық программалау есебінің геометриялық интерпретациясын (түсіндірілуін) пайдалана отырып, беріліген қос есептің шешімін оңай табуға болады. Сонымен, бірін-бірі жоққа шығаратын келесі үш жағдайдың бірі орындалады: 1) екі есептің де жоспары болады. 2) тек бір есептің ғана жоспары болады. 3) қос екі жақты есептің әрбір есебінің жоспарлар жиыны бос.

Екі жақтылық теоремаларын пайдаланудың мысалы ретінде бірінші тараудын 5-ші пунктегі есепті қарастырайық. Тура есепті келесі түрде жазамыз:

Осы есепке сәйкес қосалқы есепті құрайық. Ол үшін алдымен тура есептің кеңейтілген матрицасын құрамыз:

Қосалқы есепті шешу үшін тура есептің соңғы тиімді симплекс кестесіндегі және керек болады. Олар 5-пунттегі 1.6-кестеде қара сызықпен қоршалған. Онда теорема 2.1 бойынша және теорема 2.2 бойынша

.

Сонымен қосалқы есептің тиімді шешімі келесі түрде болады:

.

4-мысал. F=2x₁+7x₂ функциясының

шартын қанағаттандыратын максимал мәнін анықтау керек болсын. Осы есепке екі жақты есеп құрып, оның шешімін табайық.

Шешуі: Негізгі есепке қатысты екі жақты есеп дегеніміз:

шарттарын қанағаттандыратын Z=14y₁+8y₂ мақсаттық функциясының минимал мәнін анықтайтын есеп.

Негізгі есептегідей, екі жақты есепте де белгісіздер саны екіге тең. Сондықтан, олардың шешімін сызықтық программалау есебінің геометриялық интерпретациясын пайдалана отырып анықтауға болады. (2 және 3-сурет)

2-суреттен көріп отырғанымыздай, негізгі есептің мақсаттық функциясының мәні В нүктесінде максимал мәнді қабылдайды. Сондықтан, Х* = (2; 6) болғанда, maxF=46 болатын тиімді жоспар шығады.

2- сурет. Тура есептің графикалық шешімі

Екі жақты есептің мақсаттық функциясы Е нүктесінде минимал мән қабылдайды (3-сурет). Яғни, екі жақты есептің тиімді жоспары У*=(1;4) болғанда, minZ=46 болады.

3-сурет. Екі жақты есептің графикалық шешімі

Сонымен екі функцияның мәні өзара тең.

Жауабы: maxF=minZ=46. X^*=(2, 6), Y^*=(1, 4).