Әрбір сызықтық программалау есебіне сәйкес басқа бір сызықтық программалау есебін қоюға болады. Берілген есепті тура есеп, ал оған сәйкес құрылған есепті екі жақты есеп деп атаймыз.

Тура және екі жақты есеп қос екі жақты есептер деп аталады.

1. Екі жақты есептерді құру ережелері

Бізге тура сызықтық программалау есебі берілсін:

(2.1)

(2.2)

(2.1) мақсатты функция, ал (2.2) шектеулер жүйесі.

(2.1) формуладағы с₁, с₂, ..., с_n мақсаттық функцияның коэффициенттері болып табылады, ал b₁, b₂ …, b_m – (2.2) жүйесінің бос мүшелері деп аталады. (2.2) жүйедегі а₁₁, а₁₂, ..., а_mn бастапқы берілген матрицаның элементтері.

Тура есепке сәйкес екі жақты есеп келесі түрде болады:

(2.3)

Екі жақты есептің шектеулер жүйесін құру үшін бастапқы берілген шектеулер жүйесінің матрицасын транспонирлеу керек және ол келесі түрде болады:

(2.4)

(2.1) — (2.2) және (2.3) — (2.4) есептері қос екі жақты есептерді құрайды.

Екі есепті салыстыру арқылы екі жақты есепті құру ережесін шығаруымызға болады.

1. Егер тура есепте болса, онда екі жақты есепте мақсаттық функция болады және керісінше.

2. Матрица

алғашқы есептің (2.2) шектеулер жүйесіндегі белгісіздер коэффициенттерінен құралған матрица және сәйкесінше

екі жақты есебінің матрицасы, тура есептің матрицасын транспонирлеу арқылы алынады, яғни жолдарды бағанамен, ал бағананы жолдармен алмастырамыз.

3. Екі жақты есептегі айнымалылар саны бастапқы есептер жүйесіндегі қатынас сандарына тең, ал екі жақты есептер жүйесіндегі шектеулер саны – бастапқы есептегі айнымалылар санына тең болады.

4.Тура есептің мақсаттық функция коэффициенттері қосалқы есептің шектеулер жүйесінің бос мүшелері болып табылады

5. Тура есептің шектеулер жүйесінің бос мүшелері қосалқы есептің мақсатық функциясының коэффициенттері болады.

Ескерту 1. Егер тура есептің j-қатынасы теңсіздік болса, онда қосалқы есептің i-айнымалысы теріс емес мәндерді қабылдайды, яғни .

Егер де тура есептің j-қатынасы теңдік болса, онда айнымалысы кез келген мәнді қабылдайды.

Қос екі жақты есебі симметриялық және симметриялық емес деп екіге бөлінеді.

Симметриялық қос екі жақты есепте тура есептің (2.2) шектеулер жүйесі және екі жақты есептің (2.4) қатынасы теңсіздік болып табылады. Осы сияқты екі есептің де айнымалылары теріс емес мәндерді қабылдайды. Барлығынан 4 түрлі есеп құруға болады.

Симметриялық есептер

Тура есеп Екі жақты есеп

I.

II.

Симметриялық емес есептер

Тура есеп Екі жақты есеп

III.

IV.

Ескерту 2. Екі жақты есепті жазбас бұрын ең алдымен тура есепті стандарт түріне, яғни I, II, III, IV түрлерінің біреуіне келтіру керек.

1-мысал. Тура есепке екі жақты есеп құру керек.

Шешуі. Үшінші теңдіктен басқалары симметриялық есептердің I типіне жатады. Тура есептің кеңейтілген және транспонирленген А матрицасын құрамыз.

Екінші ескертуде көрсетілгендей, кез келген мәнді қабылдайтын болғандықтан екі жақты есепті келесі түрде жаза аламыз:

Тура есептің А матрицасының соңғы жолында F мақсаттық функциясының коэффициенттері жазылған.

2-мысал. Тура есепке екі жақты есеп құру.

Шешуі. Берілген есеп симметриялық емес есепке жатады (IV түр). Алдыңғы есептің коэффициенттерінен кеңейтілген матрица құрамыз және оны транспонирлейміз:

.

Сәйкес айнымалыларды енгізсек, онда екі жақты есеп төмендегідей болады:

.