О. Хабидолда, Р. Мұратхан, Л.К. Абеуова, К.С. Кутимов, Р.А. Кайыров
ТҰТАС ОРТА МЕХАНИКАСЫНЫҢ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
Электронды оқу құралы
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
1 Бленд Д., Теория линейной вязкоупругости, «Мир», М., 1965.
2 Бетчелор Дж., Введение в динамику жидкости, «Мир», М., 1973.
3 Жермен П., Механика сплошных сред, «Мир», М., 1965.
4 Зоммерфельд А., Механика деформируемых сред, ИЛ, М., 1954.
5 Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, ИЛ, М., 1955.
6 Ильюшин А.А., Механика сплошной среды, Изд-во МГУ, М., 1971.
7 Ильюшин А.А., Ленский В.С., Сопротивление материалов, Физматгиз, М., 1959.
8 Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П., Задачи и упражнения по механике сплошной среды, Изд-во МГУ, М., 1973.
9 Качанов Л.М., Теория пользучести, Физмматгиз, М., 1960.
10 Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В., Теоретическая механика, ч.І и ІІ, Физматгиз, М., 1963.
11 Кристенсен Р., Введение в теорию вязкоупругости, «Мир», М., 1974.
12 Куликовский А.Г., Любимов Г.А., Магнитная гидродинамика, Физматгиз, 1962.
13 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика сплошных сред, изд. 2, ГИТТЛ, М., 1954.
14 Лойцянский Л.Г., Мехзаника жидкости и газа, изд. 4, «Наука», М., 1973.
15 Ляв А., Математическая теория упругости, ОНТИ, М., 1935.
16 Мак-Коннел А.Дж., Введение в тензорной анализ, Физматгиз, М., 1963.
17 Милн-Томсон Л.М., Теоретическая гидродинамика, «Мир», М., 1964.
18 Новожилов В.В., Теория упругости, Судпромгиз, Л., 1958.
19 ПрагерВ., Введение в механику сплошных сред, ИЛ, М., 1963.
20 Прагер В., Ходж Ф.Г., Теория идеально-пластических тел, ИЛ, М., 1956.
21 Прандтль Л., Гидроаэромеханика, ИЛ, М., 1949.
22 Седов Л.И., Введение в механику сплошной среды, Физматгиз, М., 1962.
23 Седов Л.И., Методы подобия и размерности в механике, изд.7, «Наука», М., 1972.
24 Седов Л.И., Механика сплошной среды, т.1-2, изд.2, «Наука», 1972.
25 Сокольников И.С., Тензорной анализ, «Наука», М., 1971.
26 Соколовский В.В., Теория пластичности, ГИТЛ, М.-Л., 1950.
27 Тимошенко С.П., Сопротевление материалов, т.І-ІІ, «Наука», М., 1965.
28 Тимошенко С.П., Теория упругости, ОНТИ, М., 1934.
29 Хилл Р., Математическая теория пластичности, Гостехиздат, М., 1956.
30 Қазақша-орысша, орысша-қазақша терминологиялық сөздік, механика және машинатану, Оқулық-анықтамалық басылым «Рауан», Алматы, 2000.
Көмек
Оқулық бойынша қозғалыс тінтуір (немесе ұқсас құрылғы) манипуляторы көмегімен жүзеге асырылады. Негізгі элементтер ретінде гипермәтіндік сілтемелер болып табылады.
Электронды оқу құралы туралы
Оқу құралында тұтас орта механикасының математикалық негіздерінің басты ұғымдары, кернеулік және деформациялық күйдің модельдері, серпімділік пен пластикалық ағын теориялары, сондай-ақ тұтқыр серпімділік мәселелері қарастырылған. Әр тақырып теориялық бөлім, практикалық бөлім және өздігінен орындауға арналған сұрақтар мен тапсырмалардан тұрады. Ұсынылып отырған оқу құралы 6B05402 – «Механика» білім беру бағдарламасының студенттеріне, жоғары оқу орнының оқытушыларына, магистранттарына және қолданбалы математика мен компьютерлік модельдеу салаларының мамандарына арналған
КІРІСПЕ
Инженерлік механика мен материалдар механикасы саласында тұтас орталар механикасы ерекше маңызға ие. Бұл ғылым саласы деформацияланатын орталардағы күштер мен орын ауыстыруларды зерттейді. Қазіргі заманғы инженерлік есептеулер мен құрылымдық талдау негізінен осы теорияға сүйенеді. Ұсынылған курстық материалда тұтас орталар механикасының негізгі ұғымдары, кернеулік және деформациялық күйдің модельдері, серпімділік пен пластикалық ағын теориялары, сондай-ақ тұтқырлы серпімділік мәселелері қарастырылады.
Бірінші тарауда – инженерлік есептерде құрылымдарға әсер ететін ішкі күштерді дұрыс түсіну – олардың беріктігін, сенімділігін бағалауда аса маңызды. Осы тарауда біз кернеу деген не екенін және ол қалай пайда болатынын зерттейміз. Материалдың ішіндегі әрбір нүктеде әсер ететін күштердің қалай бөлінетінін білу – конструкцияның күйін нақты бағалауға мүмкіндік береді.
Ең алдымен, материалдардың біртектілігі, изотропиясы және орта тығыздығы сияқты негізгі қасиеттерімен танысамыз. Бұдан кейін массалық және беттік күштердің табиғатын қарастырамыз. Бұл күштер кернеудің пайда болуына себеп болады.
Коши кернеу принципі арқылы біз нүктедегі күшті бір бағыттағы жазықтыққа түсіріп, кернеу векторымен сипаттай аламыз. Осы векторлардың жиынтығы кернеу тензорын құрайды, яғни материал ішіндегі кернеудің толық күйін көрсететін математикалық құрылым.
Соңында кернеу тензоры мен кернеу векторы арасындағы байланыс, олардың түрлену заңдары және нүктедегі кернеулік күйдің физикалық мағынасы қарастырылады. Бұл тарау тұтас ортаның ішкі күштік күйін жан-жақты түсінуге негіз болады.
Материал ішіндегі кернеулер бір бағытта белгілі болғанмен, бізге ол туралы әртүрлі жазықтықтарда немесе басқа координаталық жүйелерде де ақпарат қажет болуы мүмкін. Бұл тарауда кернеулердің қалай түрленетінін, яғни олардың бір координат жүйесінен екінші жүйеге қалай ауысатынын үйренеміз. Демек, күштер мен моменттердің тепе-теңдігі қарастырылады. Осы негізде кернеу тензорының симметриялығы дәлелденеді – бұл теорияда өте маңызды қасиет. Келесі қадамда, Коши кернеу беті арқылы әртүрлі бағыттардағы кернеулерді анықтау әдісі көрсетіледі. Бұл физикалық тұрғыдан әр жазықтықтағы ішкі күштердің қалай әсер ететінін көруге мүмкіндік береді. Содан кейін бас кернеулер ұғымы енгізіледі. Бұл – материал ішіндегі ең үлкен және ең кіші нормаль кернеулер. Осы кернеулер арқылы біз кернеу тензорының инварианттарын, кернеу эллипсоидын және оның геометриялық мағынасын түсінеміз. Яғни, максимальды және минимальды жанама кернеулер анықталады. Бұл, әсіресе, материалдың қиратылу қаупін бағалауда өте маңызды.
Бұл тарау материал ішіндегі кернеулердің кеңістіктегі мінез-құлқын тереңірек түсінуге көмектеседі және инженерлік модельдер жасауда үлкен рөл атқарады.
Екінші тарауда тұтас ортаның деформациясын модельдеудің теориялық негіздеріне арналған. Мұнда тұтас ортаның қозғалысын сипаттайтын негізгі геометриялық және физикалық ұғымдар қарастырылады, сондай-ақ деформация мен ағынды сипаттау үшін қолданылатын математикалық аппараттың негіздері келтіріледі.
Тарау тұтас ортаның әртүрлі конфигурацияларындағы қозғалысын сипаттаудан басталып, деформация мен орын ауыстыру векторлары, олардың градиенттері және шексіз аз деформациялар теориясы секілді ұғымдарды қамтиды. Сонымен қатар, қозғалысты сипаттаудың Лагранж және Эйлер әдістерінің ерекшеліктері мен артықшылықтары салыстырмалы түрде қарастырылады. Келесі бөлімдерде сызықтық бұрылу және деформация тензорларының геометриялық және физикалық мағынасы ашылады. Ақырғы деформациялар, ұзару коэффициенті, бас деформациялар мен инварианттар сынды ұғымдар деформациялық күйді жан-жақты сипаттауға мүмкіндік береді.
Тарау соңында деформация тензорларын түрлендіру, жазық деформация және Мор дөңгелектері, сондай-ақ сызықтық деформация үшін үйлесімділік теңдеулері сияқты нақты модельдік құралдар ұсынылады. Бұл теориялық негіздер әрі қарайғы механикалық талдаулар мен есептеулер үшін берік негіз қалайды.
Үшінші тарау сызықтық серпімділік теориясына арналған. Мұнда Гук заңы, серпімді орталардың сипаттамалары, серпімділік теңдеулері мен статикалық және динамикалық есептердің қойылуы қарастырылады. Сонымен қатар, жазық кернеулік күй мен Эри кернеу функциясы арқылы есептеу әдістері көрсетіледі.
Төртінші бөлімде пластикалық ағын теориясы қарастырылады. Материалдың пластикалық қасиеттері мен Треска, Мизес шарттары, аққыштық беті және кернеу-деформация арасындағы байланыстар сипатталады. Пластикалық деформациялардың энергиялық сипаттамасы мен сырғанау сызығы теориясы берілген.
Бесінші бөлім сызықтық тұтқырлы серпімділікке арналған. Мұнда материалдардың уақытқа тәуелді қасиеттері, релаксация, жылжымалылық, комплекстік модульдер, және үш өлшемді модельдер зерттеледі.
Соңғы тарау теориялық материалдарды пысықтауға арналған есептерден тұрады. Бұл практикалық бөлім студенттерге теорияны тереңірек түсінуге, қолданбалы есептерді шешу машығын қалыптастыруға мүмкіндік береді.
Жалпы, бұл курс материалдары механика, құрылыс, машина жасау және материалтану салаларында білім алушы мамандар үшін теориялық негіз болады және олардың ғылыми-зерттеу мен инженерлік есептеулердегі кәсіби біліктілігін арттыруға бағытталған.
Оқулықты жазу барысында біз қазіргі уақытта өте сирек кездесетін Дж. Мейздің 1974 жылы шыққан «Теория и задачи механики сплошных сред» оқулығын негізге алдық..
Оқулыққа байланысты ұсыныстарыңыз бен ескертулеріңізді Қарағанды мемлекеттік университетінің математика факультетінің «Қолданбалы математика және информатика» кафедрасына және Т.Ғ.Мұстафин атындағы алгебра, математикалық логика және геометрия кафедрасына жіберулерінізді өтінеміз.
Тарау I. ТҰТАС ОРТАНЫҢ КЕРНЕУ ҰҒЫМЫ
1. Тұтас ортадағы кернеу ұғымы
Тұтас орта механикасы – механиканың газдардың, сұйықтықтардың, плазманың, деформацияланатын қатты денелердің қозғалысын және тепе-теңдігін зерттейтін бөлім.
Тұтас орта механикасында заттың молекулалық құрылысы ескерілмей, оның барлық қасиеттері (тығыздығы, механикалық кернеуі, бөлшектердің жылдамдықтары, т.б.) көлемі бойынша үздіксіз таралған тұтас орта ретінде қарастырылады. Мұндай жуықтаулар Тұтас орта механикасына жоғары математиканың үздіксіз функциялар аппаратын қолдануға мүмкіндік береді. Тұтас орта механикасында кез келген ортаны қарастырғанда механиканың негізгі заңдарына сүйеніп қорытылатын ортаның қозғалыс теңдеуі мен осы ортаның тепе-теңдік шарты, ортаның үзіліссіздік теңдеуі (массаның сақталу заңына негізделген), энергияның сақталу заңы негіз етіп алынады. Әрбір нақты ортаның ерекшеліктері ерекшеліктері олардың күй теңдеулеріне немесе берілген орта үшін кернеу мен деформацияның немесе ортаның деформациялану жылдамдықтарының байланысуын белгілейтін реологиялық теңдеулерде ескеріледі. Ортаның қасиеті температураға және басқа да физикалық-химиялық параметрлерге тәуелді. Әрбір нақты есепті шешкенде бастапқы және шекаралық шарттар берілуі тиіс. Олар ортаның ерекшеліктеріне тәуелді.Тұтас орта механикасы физика мен техниканың әр түрлі салаларында пайдаланылады.
Тұтас орта механикасында таралған күш қаралады, ал таралған күштің үдемелі қарқындылығы кернеу деп аталады.
Тұтас орта механикасында денеге әсер ететін күштер беттік немесе көлемдік таралуымен, яғни күш шамасының дене бетінің ауданына (беттік күштер үшін) немесе көлеміне (массалық күштер үшін) қатынасымен, ал сол ортаның әрбір нүктесінде пайда болатын ішкі кернеулер жанама және нормаль кернеулер жиынымен (кернеулер тензорларымен) анықталады. Теріс таңбамен алынған бір нүктедегі үш нормаль кернеудің орташа арифметикалық мәні осы нүктедегі қысымды анықтайды. Дененің қозғалысына, оған әсер етуші күштерден басқа, оның инерттік дәрежесі де әсерін тигізеді. Материалдық нүкте үшін инерттік өлшем – оның массасы. Материалдық дененің инерттігі оның жалпы массасына және сол массаның дене көлемінде таралуына тәуелді. Сұйықтықтар мен газдардың инерттігі олардың тығыздығымен анықталады.
Бақылаудағы макроскопиялық процесстер мен құбылыстарды түсіндіргенде заттардың (денелердің) құрылымын елемейді. Ол зат белгілі бір көлемде үзіліссіз таралған деп есептелінеді және бүкіл көлемді толтырады деп жорамалданады. Тұтастық концепциясы тұтас орта механикасының негізгі постулаты болып табылады. Онда шамалар өрісін (кернеу, орын ауыстыру) координата және уақыттың бөлікті үзіліссіз функциясымен сипаттайды.
1
.1 Біртектілік. Изотропия, орта тығыздығы
Барлық нүктедегі қасиеті бірдей материал біртекті деп аталады.
Егер нүктедегі қасиет барлық бағыт бойынша бірдей болса, онда материал осы қасиеті бойынша изотропты болады.
1.1 – сурет.
Қасиеттері нүктедегі бағыттан тәуелді болатын материал – анизотропты болады.
Тығыздық ұғымы тұтас орта нүктесінің маңайында массаның көлемге қатынасы түрінде енгізіледі
,
(1.1)
.
(1.2)
Мұндағы
көлемі Р нүктесіне қарай сығылады (1.1-сурет).
1.2 Массалық күштер. Беттік күштер
Егер күш тұтас орта көлемінің әрбір элементіне әсер етсе, онда олар массалық күштер (гравитациялық, инерциялық) деп аталады.
Айталық,
– бірлік көлемге түсірілген күш,
– бірлік массаға түсірілген күш болсын. Онда
.
(1.3)
Бет элементтеріне әсер ететін күштер беттік күштер деп аталады және
(бірлік ауданға қатысты) арқылы белгілейміз. Мысалы, түйіскен өзара әсер беттік
күш болады.
1.3 Коши кернеу принципі. Кернеу векторы
Айталық,
– беттік күштер,
көлемдік күштер болсын. Онда Р нүктесінде
нормалы бар
ауданына түсірілген күш
функциясы арқылы анықталады. Осыдан
– бірлік көлемге қатысты орташа беттік күш (1.2 сурет).
|
|
|
|
1.2 – сурет. |
1.3 – сурет. |
Коши кернеу принципі: күш моменті
Р нүктесіне қатысты нөлге ұмтылғанда және
ауданы Р нүктесіне сығылғанда
қатынасы
шегіне ұмтылады. Соңғы вектор
(бірлік ауданға жүктелген күш) кернеу векторы деп аталады және
арқылы белгіленеді (1.3 сурет), яғни
және
болса, онда
кернеу векторы деп аталады.
Егер
нөлге ұмтылмаса, онда моменттік теория пайда болады.
Сонымен
,
немесе
,
(1.4)
немесе
.
(1.5)
көлемінің ішіндегі Р нүктесінде
арқылы өтетін сыртқы орта әсерін сипаттайтын кернеу векторы.
1.4 Нүктедегі кернеулік күй. Кернеу тензоры
Коши кернеу принципі тұтас ортаның әрбір нүктесі Р – ға және нормалы
– ға
кернеу векторын сәйкес қояды.
Р нүктесінде пайда болатын барлық
жұбы Р нүктесіндегі кернеулік күйді анықтайды.
Р нүктесінде элементар кубты қарастырайық. Кубтың қабырғалары координата жазықтықтарына параллель.
|
|
|
|
1.4 – сурет. |
1.5 – сурет. |
Кубтың әрбір қабырғасындағы кернеу векторы келесі өрнекпен анықталады (1.5 сурет):
,
,
(1.6)
.
Соңғы теңдеуді келесі түрде жазуға болады:
,
(1.7)
(1.7) – кернеу тензорының компоненттері.
Бұл тензорды ашып жазайық:
немесе
.
(
1.6 – сурет.
– і осінің бойымен бағытталған нормалы бар ауданшаға, j – осінің
бағытында әсер ететін күшті білдіреді; s
11, s
22, s
33 – нормал кернеулер, s
12, s
13, s
21, s
23, s
31, s
32 – жанама кернеулер (1.6-сурет).
Егер s ij, ішкі нормалы ni, xi-дің оң бағытымен сәйкес болатын ауданшаға әсер етсе, онда s ij>0.
1.5 Кернеу тензоры мен кернеу векторы арасындағы байланыс
Тұтас ортаның кез-келген Р нүктесіне кернеу тензоры
және кернеу векторы
сәйкес келеді. Р нүктесіндегі
және
арасындағы байланысты орнату үшін, сурет 1.7-суретте көрсетілгендей Р
нүктесінің маңайында элементар тетраэдрді қарастырайық.
Айталық, dS табаны АВС-ның ауданы болсын, онда СРВ бүйір қабырғасының ауданы dS1=dS∙n1, АРС бүйір қабырғасының ауданы dS2=dS∙n2, АРВ бүйір қабырғасының ауданы dS3=dS∙n3 болады немесе
.
(1.9)
1.7 – сурет.
Тетраэдрдің тепе-теңдік шарты келесі түрде болады:
.
(1.10)
Массалық күштер реті беттік күштер ретінен бір ретке кіші(dV<<dS). Сондықтан, егер dV-ны нөлге ұмтылдырсақ, онда
.
(1.11)
Соңғы теңдікті ортақ көбейіткіш dS-ке қысқартқанан кейін және
қатынасын пайдаланғанан кейін (1.11) теңдігі келесі түрде болады:
немесе
.
(1.12)
Соңғы теңдікті матрицалық формада келесі түрде жазуға болады:
.
(1.13)
(1.13) формуланы ашып жазсақ
.
(1.14)
(1.14) матрицалық теңдік келесі теңдеулерге пара-пар:
(1.15)
2. Кернеулерді түрлендіру заңдары
2.1 Күштер мен моменттердің тепе-теңдігі. Кернеу тензорының симметриялығы
Беттік күш
және массалық күш
әсеріндегі S бетімен шектелген тұтас ортаның кез-келген V
көлемінің тепе-теңдік теңдеуі келесі түрде болады:
.
(1.16)
екенің ескеріп, (1.16) шартын
түрінде жазсақ және оған Остроградский-Гаусс теоремасын қолдансақ, онда
немесе
.
(1.17)
V көлемі кез-келген болғандықтан, интеграл астындағы өрнек нөлге тең болуы тиіс. Яғни
немесе
.
(1.18)
(1.18) – теңдеу тепе-теңдік теңдеуі деп аталады.
Таралған моменттер жоқ болса, онда координата басына қатысты моменттердің тепе-теңдігі үшін келесі қатынас орындалуы керек:
немесе
,
мұндағы
х – бет немесе көлем элементінің радиус-векторы.
алмастыруын жасасақ
,
онда
Остроградский-Гаусс теоремасы бойынша
,
болады. Соңғы теңдікті (1.18) формуласын ескеріп келесі түрде жазуға болады:
немесе
,
(1.20)
V көлемі кез-келген болғандықтан
немесе
.
(1.21)
болуы керек. Онда
яғни кернеу тензоры симметриялы. (1.22) теңдікті ескеріп, (1.18) тепе-теңдік теңдеуін келесі түрде жиі жазады:
.
(1.23)
(1.23) теңдігін ашып жазсақ келесі түрде болады:
(1.24)
2.2 Кернеулерді түрлендіру заңдары
Айталық, Р нүктесінде екі ортогональ декарттық координата жүйелері Рх1х2х3
және
(1.8-сурет) бір-бірімен бағыттауыш косинустар кестесі арқылы байланысқан болсын:
Кесте 1.1.
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
|
|
Х1 / |
а11 |
а12 |
а13 |
|
Х2 / |
а21 |
а22 |
а23 |
|
Х3 / |
а31 |
а32 |
а33 |
1.8 – сурет.
Бұл келесі түрлендіру тензорын берумен бірдей
.
(1.25)
және
келесі қатынас арқылы байланысқан
немесе
,
(1.26)
тензорларды түрлендіру ережесі бойынша (
)
немесе
(1.27)
кернеу векторын түрлендіруді матрицалық формада келесі түрде жазылады:
,
(1.28)
ал кернеу тензорын түрлендіру келесі түрде болады:
.
(
1.28) және (1.29) формулаларын ашып жазсақ, онда
,
(1.30)
.
(1.31)
2.3 Коши кернеу беті
Айталық, Р нүктесінде Рx 1x 2x 3 локальды координата жүйесі берілсін.
Онда,
,
(1.32)
(1.32) теңдеуі ортақ центрі Р нүктесінде болатын геометриялық ұқсас екінші ретті беттерді анықтайды.
1.9 – сурет.
Айталық,
және
болсын. Онда Р нүктесінде
.
кернеу векторының нормал құраушысы
– дің шамасы келесі түрде болады:
.
(1.33)
нүктелерінің геометриялық орны, яғни
,
(1.34)
(1.34) беті Коши кернеу беті деп аталады.
Бұл анықтамадан dS
r
ауданшада
,
болатыны, сонымен қоса
,
мұндағы
– радиус-векторы r болатын Коши кернеу бетіне жанама жазықтыққа
перпендикуляр.
2.4
Бас кернеулер. Кернеу тензорының инварианттары. Кернеу эллипсоиды
Егер Р нүктесінде
тензоры берілсе, онда (1.12) формула бойынша
болады және
болатын бағыттар бас бағыттар (кернеу тензорының бас осьтері) деп
аталады. Бас бағыт үшін келесі теңдік орындалады:
немесе
,
(1.35)
мұндағы
- кернеу векторының шамасы және ол бас кернеу деп аталады.
өрнегін
.
(1.36)
(1.36) теңдеудің 4 белгісізі
бар. Егер
немесе
,
(1.37)
болса, онда (1.36) теңдеуінің нөлдік емес шешімі
бар болады. (1.37) анықтауышын ашып жазсақ, онда
,
(1.38)
мұндағы
,
(1.39)
,
(1.40)
,
(1.41)
кернеу тензорының сәйкесінше бірінші, екінші, үшінші инварианттары.
(1.38) теңдеудің түбірлері, яғни
– мәндері үш бас кернеуді білдіреді.
Әрбір
бас кернеуге келесі теңдеудің шешімінен табылатын
бас бағыттар сәйкес келеді:
немесе
,
.
(1.42)
Мысалы,
болсын, онда
(1.43)
теңдеулер жүйесінен
немесе
-ді
табамыз. Бұл
–
ге сәйкес келетін бірінші бас бағыт.
тензорын бас бағыттар бойынша жазсақ, онда
немесе
,
(1.44)
мұндағы
.
Бас осьтерде
немесе
,
(1.45)
және
болғандықтан
,
(1.46)
екені шығады және ол Ламе кернеу эллипсоиды деп аталады.
2.5 Максимальды және минимальды жанама кернеулер
кернеу векторын нормальды
және жанама
,
(1.47)
,
(1.48)
.
(1.49)
1.10 – сурет.
(1.48), (1.49) өрнектерін (1.47) – ге қойсақ, онда
(1.50)
табу үшін Лагранж көбейіткіштер әдісін пайдаланамыз:
,
(1.51)
мұндағы
– Ланграж көбейіткіштері.
функциясының экстремум (максимум немесе минимум) шарты
түрінде болады. Сонымен
,
(1.52,а)
,
(1.52,б)
,
(1.52,в)
бұған
.
(1.52,г)
теңдеуін қосамыз.
(1.52) теңдеуін
бар болатын ауданшаларды анықтайтын
– ке қатысты шешейік.
Бір шешім келесі түрде болады
:
(1.53)
Бас ауданшада
,
себебі
бағыттары бас бағыттармен сәйкес келеді.
Басқа бір шешім келесі түрде болады:
(1.54)
мәні ең үлкен және ең кіші бас кернеулер арасындағы бұрышты қақ бөлетін
ауданшаға әсер етеді.
3 Жазық кереулік күйді талдау
3.1 Кернеу үшін Мор дөнгелектері
Нүктедегі үш өлшемді кернеулік күйдің қолайлы екі өлшемді графикалық сипатталуын Мор дөнгелектері береді. Координата осьтері ретінде Р нүктесіндегі кернеу тензорының бас осьтерін алайық (1.11-сурет).
Айталық,
(1.55)
болсын.
Онда
-ның
нормальды және жанама компоненттері бар болады:
,
(1.56)
.
(1.57)
1.11 – сурет.
теңдігін ескерсек, онда
(1.58)
Мор дөнгелектерін салу (1.58) теңдіктеріне негізделген (сур.2.12).
болғандықтан
,
(1.59)
теңсіздігі
жазықтығындағы
.
(1.60)
дөнгелегінің сыртындағы және оның шекарасындағы нүктелерді білдіреді. Бұл дөнгелек 1.12-суретте С1 арқылы белгіленген.
(1.55) теңдеуден
теңсіздіктері шығады. Онда (1.58) формулада
,
(1.61)
болады және ол
,
(1.62)
дөнгелегінің ішіндегі және оның шекарасындағы нүктелерді білдіреді. Ол
1.12-суретте С2 арқылы белгіленген. Сонымен қоса (1.55)-тен
болғандықтан,
.
(1.63)
болады. Бұл теңсіздік
,
(1.64)
дөнгелегінің сыртындағы және оның шекарасындағы нүктелерді білдіреді. Ол 1.12-суретте С3 арқылы белгіленген.
1.12 – сурет.
Әрбір
жұбы
кернеу векторына сәйкес келеді. (1.58) формула арқылы сипатталған Р
нүктесіндегі кернеулік күйді суреттегі C1, C2,
C3 арасындағы облыс арқылы көрсетуге болады. Осыдан
1
теңдігі шығады.
3.2 Жазық кернеулік күй
Егер
екеуінің бірі немесе
нөлге тең болса, онда жазық кернеулік күй пайда болады. Мұндай жағдай
денені қоршап тұрған бос бетте жүктемеден бос нүктеде пайда болады. Мор
дөнгелектері 1.13-суреттегі көрсетілгендердің біреуіндей болады.
1.13 – сурет.
Егер бас бағыттар реттелмеген және нөлдік бас кернеу бағыты ретінде х
бағыты алынса, онда жазық кернеулік күйдің компоненттер тек
жазықтығына параллель жазықтықта болады. Онда кернеу матрицасы келесі түрде
болады:
.
(1.65)
Жазық кернеулік күйдің кернеу беті, табаны
жазықтығында жататын цилиндр болады және келесі теңдеумен сипатталады:
.
(1.66)
Мұндай сипатталу толық емес, себебі бұл дөнгелек ішкі дөнгелек болса, онда
анықтау мүмкін емес. Егер
осьтері (1.65) сипатталуға сәйкес алынса, онда Мор дөнгелегінің теңдеуі келесі
түрде болады:
.
(1.67)
Ал (1.67) Мор дөнгелегі 1.14-суретте сипатталғандай болады. Оның радиусы
-ға
тең, ал сипаттамалық нүктелері
,
,
,
,
түрінде болады.
1.14 – сурет.
3.3
Девиатор және кернеу тензорының шарлық тензоры
Шар
лық тензор (гидростатистикалық кернеу тензоры) келесі түрде болады:
,
(1.68)
мұндағы
.
Кернеу девиаторы
түрінде болады.
Бұл жіктеу келесі формула арқылы анықталады:
.
(1.70)
Девиатордың бас мәні келесі формуламен анықталады:
Кернеу девиаторының сипаттамалық теңдеуі, тура (1.39) сипаттамалық теңдеудей болады:
немесе
.
(1.72)
Кернеу девиаторының бірінші инварианты
нөлге тең екенің оңай көрсетуге болады. Сондықтан ол (1.72) теңдеуде жоқ.
Тарау ІІ. ТҰТАС ОРТА ДЕФОРМАЦИЯСЫ
1 Тұтас ортадағы деформация ұғымы
1.1 Бөлікшелер және нүктелер. Тұтас орта конфигурациясы. Деформация және ағын.
Радиус-вектор. Орын ауыстыру векторы
Нүкте - кеңістіктегі орын. Яғни оны қозғалмайтын орынды белгілеу үшін қолданамыз. Бөлікше тұтас орта көлемінің ақырсыз аз элементі.
Кез-келген t үшін V,S – R кеңістігінің бөлігі.
Егер V =V(t) белгілі болса, онда тұтас орта конфигурациясы берілді дейміз. Деформация (ақаулану) деп континуум формасының алғашқы пішіндемесінің (деформацияланбаған) келесі пішіндемеге (деформацияланған) өзгеруін айтады. Деформация алғашқы және соңғы күйді қарастырады; ағын континуум қозғалысының үзіліссіз күйін белгілейді.
– радиус-вектор;
=
,
(1.1)
– материальдық координаталар.
нүктесінен
нүктесіне қарай бағытталған вектор
келесі түрде болады:
,
(1.2)
– кеңістіктік координаталар.
2.1 – сурет.
Айталық, материалдық және кеңістік осьтер ориентациясы келесі кесте немесе (1.3) формула бойынша анықталсын:
Кесте 2.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3)
мұндағы
k, K – әртүрлі.
Кронекер делтасы
,
түрінде болғандықтан м
,
(1.4)
.
Орын ауыстыру векторы
(1.5)
немесе
.
(1.6)
векторлары
арқылы былай байланысқан:
;
(1.7)
(1.7) өрнекті (1.5) формулаға қойсақ, онда
.
(1.8)
Осыдан
(1.9) формуласы бірінші рангілі тензорларды түрлендіру ережесі деп аталады.
(1.10)
Егер жүйелер біріктірілген болса, онда
.
(1.11)
Осыдан
.
(1.12)
Бірлік векторлар триэдры бірдей болғандықтан
.
(1.13)
Келешекте жүйелерді (материалдық және кеңістіктік) біріктірілген деп есептейміз.
1.2 Қозғалыстың Лагранж (локальды) және Эйлер (глобальды) әдісімен жазылуы
Деформацияланған тұтас орта бөлікшелер қозғалысының теңдеуін келесі түрде жазуға болады:
немесе
.
(1.14)
(1.14) – нүктелердің бастапқы конфигурациясы мен қазіргі күй арасындағы сәйкестікті орнатады. Бұл қозғалыстың Лагранж әдісімен жазылуы деп аталады.
Егер қозғалыс немесе деформация келесі теңдеумен берілсе:
немесе
.
(1.15)
(1.15) формула t уақытында,
орның алып жатқан бөлікшелердің бастапқы күйін орнатады. Бұл қозғалыстың
Эйлер әдісімен жазылуы деп аталады.
(1.14) және (1.15) формулаларының өзара қатынасының қажетті және жеткілікті шарты:
Мысал
. Қозғалыстың
(1.17)
,
түріндегі Лагранж әдісімен жазылуның, кері немесе Эйлерлік тұжырымдалуы
,
(1.18)
түрінде болады.
1.3
Деформация градиенті. Орын ауыстыру градиенті
Айталық,
,
– деформацияның материалдық градиенті деп аталады.
С
имволдық жазылуда
,
(1.19)
мұндағы,
және
біріктірілген).
Матрицалық түрде
Айталық,
– деформацияның кеңістіктік градиенті деп аталады:
М
атрицалық түрде
.
(1.22)
Материалдық және кеңістіктік градиенттер арасындағы байланыс:
.
(1.23)
Айталық
-
орын ауыстыру векторы, онда
- орын ауыстырудың материалдық градиенті,
- орын ауыстырудың кеңістіктік градиенті.
Егер
,
онда лагранждық айнымалыларда
,
(1.24)
ал Э
йлерлік айнымалыларда
,
(1.25)
матри
цалық түрде
,
және
1.4 Деформация тензорлары.
Ақырлы деформациялардың тензорларыБастапқы конфигурацияда
:
,
,
(1.29)
онда,
немесе
.
(1.30)
2.2 – сурет.
Келесі түрдегі екінші рангілі тензорды
немесе
,
Коши деформация тензоры деп атайды.
Деформацияланған конфигурацияда:
,
немесе
,
(1.33)
онда
немесе (1.34)
.
Келесі түрдегі екінші рангілі тензорды
немесе
.
(1.35)
Грин деформация тензоры деп атайды.
-
бастапқы және соңғы күй нүктелер маңайындағы деформация өлшемі.
,
немесе (1.36)
,
мұндағы,
немесе
,
(1.37)
(1.37) екінші рангілі тензор ақырлы деформациялардың Лагранждық тензоры (немесе ақырлы деформациялардың Грин тензоры) деп аталады.
(1.32) және (1.30) формулалар негізінде
,
немесе (1.38)
,
мұндағы
немесе
,
(1.39)
(1.39) ақырлы деформациялардың Эйлерлік тензоры (немесе ақырлы деформациялардың Альманси тензоры) деп аталады.
Егер (1.24) өрнекті (1.37) формулаға қойсақ, онда
немесе (1.40)
.
Егер (1.25) өрнекті (1.39) формулаға қойсақ, онда
немесе (1.41)
.
1.5 Аз деформациялар теориясы. Шексіз аз деформациялар тензоры
Аз деформациялар теориясының негізгі шарты орын ауыстыру градиенттерінің 1-мен салыстырғанда аз болуында. Яғни
;
,
онда
.
(1.40) теңдігінен, ақырсыз аз деформациялардың лагранж тензорын келесі түрде аламыз:
.
(1.42)
Тура осылай, егер
,
онда (1.41)-де
онда ақырсыз аз деформациялардың эйлерлік тензоры:
немесе
Егер орын ауыстыру градиенті және орын ауыстырудың өзі аз болса, онда орта бөлікшелерінің материалдық және кеңістіктік координаталар арасындағы айырмашылық өте аз болады. Сондықтан
Онда
немесе
.
(1.44)
2. Сызықтық бұрылу тензоры
2.1 Салыстырмалы орын ауыстыру. Сызықтық бұрылу тензоры. Бұрылу векторы
Егер
болса, онда
.
(1.45)
–
орның алып тұрған бөлікшеге байланысты бастапқыда
нүктесінде
орналасқан бөлікшенің салыстырмалы орын ауыстыру векторы.
– Тейлор қатарына жіктейміз және жоғарғы ретті мүшелерін ескермейміз, онда
немесе (1.46)
.
(1.46) – салыстырмалы орын ауыстырудың Лагранждық формасы.
2.3 – сурет.
Кесіндінің бірлік ұзындығына келетін салыстырмалы орын ауыстыру векторын
анықтаймыз:
,
мұндағы
.
Айталық,
–
бағытындағы бірлік вектор, онда
және
немесе
.
(1.47)
материальдық градиентті симметриялық және антисимметриялық бөліктерге жіктесек,
онда
немесе (1.48)
.
Мұндағы бірінші қосылғыш
-аз деформациялардың лагранждық тензоры, ал екінші қосылғыш
- сызықтық бұрылудың лагранждық тензоры:
немесе
.
(1.49)
Егер
нүктесінің маңайында
болса, онда бұл нүктенің маңайындағы салыстырмалы орын ауыстыру, абсолютті қатты
дененің ақырсыз аз бұрылуы болады. Бұл бұрылуды сызықтық бұрылудың лагранждық
векторымен өрнектеуге болады:
немесе
,
(1.50)
онда сәйкес салыстырмалы орын ауыстыру келесі түрде жазылады:
немесе
.
(1.51)
Кесіндінің бірлік ұзындығына келетін салыстырмалы орын ауыстыру векторының эйлерлік жазылуы келесі түрде болады:
немесе
.
(1.53)
Онда
немесе
(1.54)
,
мұндағы,
– сызықтық деформацияның эйлерлік тензоры,
– сызықтық бұрылудың эйлерлік тензоры.
немесе
.
(1.55)
Сызықтық бұрылудың эйлерлік векторын келесі түрде жазуға болады:
немесе
.
Онда салыстырмалы орын ауыстыру келесі түрде болады:
немесе
.
(1.57)
2.2 Сызықтық деформациялар тензорының геометриялық мағынасы
Аз деформациялар теориясында (1.36) формуласындағы ақырғы деформациялардың лагранждық тензорын сызықтық деформациялардың ланграждық тензорымен алмастыруға болады.
Онда ол формула мынадай болады:
немесе
(1.58)
.
Аз деформациялар үшін
,
сондықтан соңғы теңдікті былай да жазуға болады:
немесе
.
(1.59)
(1.59) формуласының сол жағы бастапқы ұзындықтың бірлігіне келетін ақырсыз аз
элементінің ұзындығының өзгеруін сипаттайды және бастапқыда
бағыттаушы косинустары бар болатын сызықтық элементтің салыстырмалы ұзару
коэффициенті деп аталады.
Айталық,
(3.4-сурет) болсын. Онда
.
Сондықтан (1.59) негізінде
.
Сонымен бастапқыда
осінің
болады екен. Тура осылай
бастапқыда
,
осьтерінің бойында жатқан элементтер үшін (1.59) формула бойынша салыстырмалы
ұзару коэффциенттері сәйкесінше
тең болады. Яғни, сызықтық деформация
тензорының диагональдық мүшелері, координата осьтерінің бойындағы салыстырмалы
ұзару коэффициенттерін білдіретінің көреміз.
|
|
|
2.4 – сурет. |
2.5 – сурет.
түзулері деформациядан кейін PQ, PM түзулеріне айналады.
Аз деформациялар теориясындағы жорамалдаудағы (1.46) формула бойынша Р нүктесінен Q нүктесіне қарай бағытталған бірлік вектордың бірінші жуықтауы келесіге тең болады:
,
(1.61)
ал P арқылы M-ге бағытталған бірлік вектор
.
(1.62)
Сондықтан
.
(1.63)
Мәні өте аз болатын жоғарғы ретті мүшелерін ескермесек, онда
.
(1.64)
Сонымен қатар, егер элементтер арасындағы тік бұрыштың өзгеруін
қарастырсақ және сызықтық теорияда
-нің
өте аз екенің ескерсек, онда
.
(1.65)
Осыдан сызықтық деформация тензорының диагональдық емес элементтері, бастапқы сызықтық ортогональ элементтер арасындағы бұрыштардың өзгеруінің жартысына тең екенің көреміз. Мұндай деформация компонентері жылжу деформациясы деп аталады.
Егер
сызықтық деформацияның эйлерлік тензоры бар болса, онда жоғардағыға ұқсас
талқылау бойынша
- салыстырмалы ұзару, ал
- жылжу деформациясы болатының көрсетуге болады.
Тек эйлерлік тензорде деформациядан кейін координата осьтерінің бойымен бағытталған болу керек.
Егер
болса, онда лагранждық және эйлерлік талқылаулардың ешқандай айырмашылығы жоқ.
2.3 Ұзару коэффициенті. Ақырғы деформациялар интерпретациясы
Ақырсыз аз сызықтық
элементтінің деформация өлшемі ұзару коэффициенті деп аталады.
Бұл шаманы деформацияланбаған күйдегі
нүктесі үшін де, деформацияланған күйдегі P нүктесі үшін де анықтауға болады.
(1.34) формула негізінде
бірлік векторының бойында алынған сызықтық элементі үшін, нүктедегі ұзару
коэффициентінің квадраты келесі формуламен беріледі:
немесе
.
(1.66)
Осыған сәйкес (1.30) формуласының негізінде
бірлік векторының бойында алынған сызықтық элементі үшін Р нүктесіндегі ұзару
коэффициентінің квадратының кері шамасы келесі формула бойынша анықталады:
немесе
.
(1.67)
Бастапқыда
осінің бойында орналасқан элемент үшін
болғандықтан,
,
,
ал мұндай элемент үшін (1.66) формула келесі формуланы береді:
.
(1.68)
үшін де дәл осындай нәтиже шығады.
Деформациядан кейін
осіне паралелль элемент үшін,
және
үшін де осындай өрнек шығады.
Жалпы жа
ғдайда
болады,
яғни деформацияға дейін
осінің бойында орналасқан элемент деформациядан кейін
осінің бойымен бағытталуы міндет емес.
Ұзындық коэффициент ұғымы ақырлы деформациялар тензорларының интерпретациясының негізін береді. Бастапқы ұзындықтың бірлігіне келетін (салыстырмалы ұзару) ұзындықтың өзгеруі келесі қатынаспен анықталады:
ал
осінің бойында орналасқан
элемент үшін, ол былай болады:
Бұл нәтижені тікелей
(1.36) формуласынан алуға болады. Ақырсыз аз деформациялар теориясында (1.71) формуласы (1.60) формуласына келтіріледі;
және
салыстырмалы ұзарулары сәйкесінше
және
арқылы ұқсас теңдіктермен өрнектеледі.
Екі аз элементтер арасындағы бұрыштың өзгеруі
шамасымен сипатталады және
арқылы келесі түрде өрнектеледі
.
(1.72)
Егер деформация аз болса, онда (1.72) формуласы (1.65) формуласына келтіріледі.
3. Деформациялық күйді модельдеу
3.1
Деформация тензорларын түрлендіру қасиеттері
,
,
,
- тензорларының барлығы екінші
рангілі тензор болсын.
2.6 – сурет.
түрлендіру матрицасы бар
осьтері
осьтеріне бұрылғанда
компоненттері келесі формулалар арқылы өрнектеледі:
,
(1.75)
.
(1.76)
Жоғардағыдай
түрлендіру матрицасы бар
осьтері
осьтеріне бұрылғанда
және
компоненттері келесі формулалар арқылы өрнектеледі:
немесе
,
(1.77)
немесе
.
(1.78)
1.9-бөлімде айтылған кернеу бетіне ұқсас,
және
нүктелеріне сәйкес
және
локальды координаталарына қатысты сызықтық деформацияның лагранждық және
эйлерлік беттерін еңгізуге болады.
2.7 – сурет.
Деформацияның л
агранждық беті келесі түрде болады:
немесе
Деформацияның эйлерлік беті келесі түрде болады
:
немесе
.
(1.80)
Сызықтық деформацияның лагранждық және эйлерлік беттерінің өте қажетті екі қасиеті бар:
1. Сызықтық элементтің бастапқы(ақырғы) ұзындығынан кесіліп алынған бірқатар
сәуленің ұзару коэффициенті, деформация центрінен осы беттің
нүктесіне дейінгі ара қашықтықтың квадратына кері пропорционал болады.
2.
нүктесінде орналасқан көрші бөлікшенің салыстырмалы орын ауыстыруы, оның
түзуімен қиылысу нүктесіндегі деформация бетінің нормаліне паралель.
нүктесіндегі деформация эллипсоидын анықтайық:
Деформацияланбаған ортадағы, R радиусы бар шексіз аз сфера түріндегі бетпен шектелген, материальдық көлемді қарастырайық. Бұл беттің материалдық координатадағы теңдеуі келесі түрде болады:
немесе
.
(1.81)
(1.30) формуласын қолданған кездегі тура сол материальдық көлемнің деформациядан кейінгі бет теңдеуі төмендегідей болады және деформацияның материальдық эллипсоидын анықтайды:
немесе
.
(1.82)
Сфералық деформацияланбаған күйдегі тұтас орта көлемі деформация кезінде центрі
нүктесіндегі эллипсоидқа айналады.
Тура жоғардағыдай деформацияланған күйдегі P нүктесінің шексіз аз сфералық көлемі, бастапқы деформацияланбаған күйде эллипсоид болған деп жорамалдаймыз.
Локальды координаталарда бұл бет теңдеулері сфера үшін (1.32) формула көмегімен келесі түрде:
немесе
(1.83)
және эллипсоид үшін (1.34) формуласының көмегімен келесі түрде алынады:
немесе
.
(1.84)
(1.84) эллипсоиды деформацияның кеңістіктік эллисоиды деп, ал (1.82) және (1.84) –Коши деформация эллипсоиды деп аталады.
3.2 Бас
деформациялар. Деформация инварианттары. Кубтық ұлғаю
-
үшін бірлік ұзындыққа келетін салыстырмалы орын ауыстыру векторын келесі түрде
жазуға болады
немесе
.
(1.85)
арқылы
бағытындағы сызықтық элементтің
шамаларын белгілейік. Таза деформация үшін (
)
(1.85)-тен келесі шығады:
немесе
.
(1.86)
Егер
бағыты бас бағыт, ал l -
тензорының сәйкес бас мәні болса, онда
немесе
.
(1.87)
(1.86) және (1.87) теңестіру арқылы
шартымен бірге, l және
-
анықтайтың қажетті теңдеуді аламыз:
немесе
(1.88) тривиалды емес шешімі келесі шарт орындалғанда ғана бар болады:
.
(1.89)
Онда
тензоры
үшін сипаттамалық теңдеу мынандай болады:
,
(1.90)
мұндағы
,
,
(1.91)
,
(1.91) – сәйкесінше деформацияның бірінші, екінші және үшінші лагранждық
инварианттары. (1.90) теңдеуінің
түбірлері деформацияның бас мәндері болады:
,
(1.92)
2.8 – сурет.
тензоры үшін жоғарыдағыға ұқсас болады,
- салыстырмалы орын ауыстыру векторы.
онда
-
бас деформациялар.
;
;
(1.95)
;
.
(1.96)
3.3 Шарлық тензор және деформация девиаторы
тензорларын шарлық тензорға және девиаторға бөлуге болады:
немесе
,
(1.97)
немесе
.
(1.98)
мұндағы
бірінші инварианттары нөлге тең болады. Девиатор кубтық ұлғаюы нөлге тең болатын
жылжу деформациясын сипаттайды.
3.4 Жазық деформация. Деформация үшін Мор дөңгелектері
Тұтас ортаның тек ғана бір бас деформациясы нөлге тең болғанда, бұл нүктеде жазық деформация күйі бар болады:
.
Егер
– бас деформациялар бағыты болса, онда
.
(1.100)
Жазық деформация үшін
.
(1.101)
Деформация үшін нүктедегі жазық деформацияның графикалық күйін Мор дөңгелектерімен сипаттайды.
Деформация тензоры көп жағдайда келесі түрде өрнектеледі:
,
Мұндағы,
2.9 – сурет.
3.5 Сызықтық деформация үшін үйлесімділік теңдеулері
(1.43) бойынша
өрнегін үш
белгісіздерін анықтайтын алты теңдеу ретінде қарастыруға болатыны белгілі
компоненттері үшін жалпы жағдайда шешімі болмайды.
-да
бірмәнді үзіліссіз
компоненттері бар болу үшін келесі түрдегі қажетті және жеткілікті шартты қою
керек:
.
(1.103)
Мұнда барлығы 81 теңдеу бар, бірақ оның тек алтауы ғана бір-бірінен ерекше. Оларды ашып жазсақ:
,
(1.104)
,
(1.105)
немесе векторлық түрде
.
Жазық деформация үшін:
немесе
.
(1.106)
Тарау III. СЕРПІМДІЛІКТІҢ СЫЗЫҚТЫҚ ТЕОРИЯСЫ
1. Гуктың жалпыланған заңы. Деформацияның энергия функциясы
1
.1 Гуктың жалпыланған заңы. Деформацияның энергия функциясы
Айталық, жылжу мен градиент, олардың Лагранждық және Эйлерлік сипаттауларының арасында айырмашылық жасауға болмайтындай аз болсын.
,
немесе
(3.1)
.
Жылу эффекттілерін ескермейміз.
Сызықтық серпімді дене үшін анықтауыш теңдеу кернеу тензоры мен деформация тензорын келесі қатынаспен байланыстырады:
немесе
,
(3.2)
мұндағы
–
- нің
- ға орамы. (3.2) қатынасын Гуктың жалпыланған заңы деп атайды.
коэффициенттері 81 компонентті серпімді тұрақтылар тензоры
– ді құрайды.
және
симметриялығы салдарынан эртүрлі серпімді тұрақтылар саны 36-дан аспайды. Гук
заңын осы 36 коэффициент арқылы жазу кезінде кернеу және деформация
тензорларының компоненттеріндегі қос индекстер 1-ден 6-ға дейінгі бірлік
индекстермен алмастырылады:
,
,
,
(3.3)
,
,
,
,
,
,
(3.4)
,
.
Онда Гук заңы келесі түрде жазылады:
( k,m =1,2,3,4,5,6 ). (3.5)
Е
гер жылу эффектілерін ескермесек, онда ішкі энергияның өзгеру теңдеуі келесі түрде болады:
.
(3.6)
Бұл жағдайда ішкі энергия деформация энергиясы (масса бірлігіндегі) деп аталатын таза механикалық шама болып қалады. (3.6) теңдеуден келесі теңдік шығады:
.
(3.7)
Е
гер u-ды деформацияның тоғыз компонентінің
функциясы деп есептесек, онда оның дифференциалы келесі теңдікпен анықталады:
.
(3.7)
және (3.8)-ді салыстырсақ, онда
.
(3.9)
Деформация энергиясының тығыздығы (бірлік көлемдегі) деп аталатын
(3.10)
түріндегі
функциясын еңгізейік. Аз деформациялар теориясында (3.10) формуладағы
-ны
тұрақты деп санауға болады. Сондықтан
.
(3.11)
Деформация энергиясы 0-ге тең болатын күйді кез келген түрде таңдап алуға болады. Кернеу деформациямен бір уақытта 0-ге айналу керек болғандықтан, кернеу мен деформация арасындағы сызықтық байланысты көрсететін, деформация энергиясының өрнегінің қарапайым түрі квадраттық формада болады:
.
(3.12)
(3.2)
Гук заңын пайдаланып, бұл өрнекті келесі түрде жазуға болады:
немесе
.
(3.13)
Бір индекспен белгілеуде (3.12) формула келесі түрде болады:
,
(3.14)
мұндағы
.
Егер деформация энергиясының функциясы бар болса, онда
-
нің симметриялығы салдарынан тәуелсіз серпімді тұрақтылар саны 21-ден аспайды.
1.2
Изотропты және анизотропты орталар. Серпімді қасиеттердің симметриялығы
Е
гер ортаның серпімділік қасиеттері, оларды сипаттау кезінде қолданылған координата жүйесінен тәуелсіз болса, онда мұндай серпімді ортаны изотропты орта деп атайды. Изотропты болмайтын ортаны анизотропты орта деп атайды. Гук заңына бағынатын қатты дененің серпімділік қасиеті
коэффициенттерімен өрнектеледі. Сондықтан да жалпы жағдайда анизотропты дененің
серпімді тұрақтылар матрицасы келесі түрде болады:
.
(3.15)
Е
гер деформация энергиясының теңдеуі бар болса, онда
және (3.15) матрицасының 36
элементінің орнына 21 элемент
болады.
Айталық, бірқатар нүктеде серпімді қасиеттер симметриясының жазықтығы бар болсын. Яғни кез келген қос координата үшін серпімді тұрақтылар бірдей мән қабылдайды.
3.1 – с
урет.
Олар аталған жазықтыққа қатысты бір-бірінің бейнесі ретінде алынады. Мұндай
координата жүйесінің осьтері эквивалентті серпімді қасиеттер бағыты деп
аталады. Егер серпімді қасиеттер жазықтығы
болса, онда
тұрақтылары координата түрленуіне қатысты инвариант болады:
,
,
.
Бұл түрлендіруді келесі матрица сипаттайды:
.
(3.17)
Кернеу тензоры
және деформация тензоры
компоненттерін түрлендіру арқылы,
-ге
қатысты симметриялық қасиеті бар болатын, ортаның серпімді тұрақтылар матрицасы
келесі түрде болатының көреміз:
.
(3.18)
Егер деформация энергиясының функциясы бар болса, онда бұл матрицаның нөлден ерекше 20 мүшесінің 13-і ғана тәуелсіз болады.
Егер ортаның өзара үш симметриялы жазықтығы бар болса, онда ол
ортотропты
орта деп аталады, ал
.
(3.19)
Тәуелсіз тұрақтылар 12
(егер
болса, онда 9).
1
.3 Изотропты орталар. Серпімді тұрақтылар
Серпімділік қасиеттері барлық бағыттары бойынша бірдей, яғни толық симметриялы
болатын денені изотропты дене деп атайды. Бұл жағдайда кез келген ось және кез
келген жазықтық симметрия осі болып табылады. Мұндай орталар үшін тәуелсіз
тұрақтылар саны 2-ге келтіріледі. Тұрақтылар матрицасы деформация энергиясының
функциясынан тәуелсіз симметриялы болады. Егер тәуелсіз тұрақтылар ретінде Ламе
тұрақтылары
.
(3.20)
Изотропты дене үшін (3.2) Гук заңы
коэффициенттері арқылы келесі түрде жазылады:
,
(3.21)
мұндағы
.
Бұл қатынасты деформацияға байланысты шешсек және деформацияны кернеу арқылы өрнектесек
:
немесе
(3.22)
,
мұндағы
-
кернеу тензорының бірінші инвариантының белгіленуі.
осінің бағытындағы қарапайым бір осьтік созылу кезінде келесі қатынастардың
коэффициенттері болатын техникалық серпімділік модульдері
-ді
еңгізуге болады:
,
(
- Юнг модулі,
- Пуассон
коэффициенті).
Гук заңы
.
(3.23)
Кері формада
.
(3.24)
Бірқалыпты гидростатикалық сығылу күйін зерттегенде кубтық ұлғаю шамасын қысыммен байланыстыратын көлемдік сығылу модулін еңгізеді:
немесе
.
(3.25)
Таза жылжу күй жағдайында жылжу модулі
G-ді еңгізеді:
.
(3.26)
2. Серпімділік теориясының статикалық және динамикалық есептерінің қойылуы
2
.1 Серпімділік теориясының статикалық және динамикалық есептерінің қойылуы
Серпімді біртекті изотропты орта үшін статикалық есептерді қою үшін дененің ішінде орындалатын келесі теңдеулер қолданылады:
а) Тепе-теңдік теңдеуі
немесе
.
(3.27)
ә
) Гук заңы
немесе
.
(3.28)
б
) Деформацияны орын ауыстыру мен байланыстыратын өрнек:
немесе
.
(3.29)
Сонымен қатар, денені қоршап тұрған бетте, кернеу және орын ауыстыруға қойылған шарттар орындалу керек.
Әдетте серпімділік теориясының шекаралық есептері осы шарттарға байланысты жіктеледі. Оларды келесі топтарға бөледі:
1)
барлық шекара бойында орын ауыстыру берілген;2)
барлық шекара бойында кернеу (беттік күштер) берілген;3)
шекараның бір бөлігінде орын ауыстыру, ал қалған бөлігінде кернеу (беттік күштер) беріледі.Үш жағдайда да дененің барлық жерінде массалық күштер белгілі деп жорамалданады.
Барлық шекара бойындағы орын ауыстыру компоненттері
немесе
(3.30)
функциясы түрінде берілсе, деформацияны орын ауыстыру арқылы өрнектейтін (3.29) өрнекті (3.28) Гук заңына қойып, шыққан нәтижені (3.27)-ге қоямыз. Ақырында орын ауыстырудың негізгі теңдеуі келесі түрде болады:
немесе
(3.31)
,
және ол
Навье-Коши (Ламе) теңдеуі деп аталады.Есеп бүкіл облыста (3.31) теңдеуін және облыс шекарасында (3.30) теңдеуін
қанағаттандыратын
орын
ауыстыру векторын табуға негізделген.
Барлық шекара бойында беттік күштері
немесе
(3.32)
түрінде берілген есептер үшін, (1.104) бірігу теңдеулерінің, (3.24) Гук заңының және (3.27) тепе-теңдік теңдеуінің комбинациясынан кернеудің негізгі теңдеуін келесі түрде аламыз:
немесе
(3.33)
және ол
Бельтрами-Митчелл теңдеуі деп аталады.Есеп бүкіл облыста (3.33), ал шекарасында (3.32) теңдеуін қанағаттандыратын
Аралас шекаралық шарттары бар есеп үшін, (3.27), (3.28), (3.29) теңдеулерінен және (3.30), (3.32) шекаралық шарттарынан құрылған жүйені шешу керек.
Динамикалық есептерді қою кезінде, (3.27) тепе-теңдік теңдеуі
немесе
(3.34)
түріндегі қозғалыс теңдеуімен алмастырылады және шекаралық шарттарымен қоса бастапқы шартты да беру керек.
Орын ауыстыру өрісі үшін негізгі теңдеу келесі түрде болады:
немесе
(3.35)
.
(3.35) теңдеуінің шешімін
түрінде іздейміз.
Бұл шешім
және 
(3.36)
түріндегі бастапқы шартты ғана емес, сонымен қоса, не орын ауыстыру арқылы берілген
немесе
(3.37)
шекаралық шартты, не кернеу арқылы берілген
немесе
(3.38)
шекаралық шартты қанғаттандыруы керек.
2.2
Суперпозиция туралы теорема. Шешімнің жалғыздығы. Сен-Венан принципі
Теңдеу және шекаралық шарттар сызықтық болғандықтан, алдыңғы табылған
шешімдерден жаңа шешім алудың суперпозиция заңы орындалады. Айталық,
болғандағы, ал
- массалық күштер
болғандағы
(3.27), (3.28) және (3.29) жүйелерінің шешімі болсын. Онда
және
-де
массалық күштері
болғандағы сол жүйенің шешімі болады.
Сен-Венан принципі шекараның анықталған бір бөлігіне түсірілген, әртүрлі бірақ статикалық эквивалентті беттік күштердің екі жүйесінің әсерінен, серпімді дененің ішкі облысындағы кернеу мен деформация айырымына байланысты
.Сен-Венан принципі: күш түсірілген жерден жеткілікті алыстағы облыста бұл айырымды ескермеуге болатындай аз болады дейді.
Серпімділік теориясының статикалық есептерінің шешімінің жалғыздығы оның сызықтылығынан және энергияның сақталу заңынан шығады
.3. Серпімділік теориясының жазық есебі
3.1 Серпімділік теориясының жазық есебі. Жазық кернеулік күй және жазық деформация
Серпімділік теориясының көптеген есептерін екі өлшемінен –ақ тұжырымдауға болады. Кейде оны серпімділіктің жазық теориясы деп те атайды. Мұндай есептердің жалпы екі түрі бар. Бұл екі түрдегі есептерді кернеу және орын ауыстыру өрістеріне белгілі бір шектеулер мен ескертулер беру арқылы да алуға болады. Жазық кернеулік күйді сипаттау үшін дененің бір өлшемі қалған екеуінен көп кіші болатын пластинка түрінде болу керек. жүк пластинканың еңі бойынша бірқалыпты таралған және оның жазықтығына 3.2,а-суретегі бағыттауыштар арқылы көрсетілгендей әсер етеді. Дененің бір өлшемі қалған екеуінен көп үлкен болғанда жазық деформацияны сипаттау үшін дене формасы цилиндр болу керек. жүк үлкен өлшемді осі бойынша бірқалыпты таралған және оған 3.2,б-суретте көрсетілгендей перпендикуляр әсер етеді.
3.2 – сурет.
Жазық кернеулік күйі бар есептер үшін (3.2-сурет) кернеу компоненттері
барлық жерде нөлге тең болады, ал қалған компоненттер тек ғана х1
мен х2-нің функциясы болады:
.
(3.39)
Осыған сәйкес жазық кернеулік өрісті есептерде келесі теңдеулер бар болу керек:
-
немесе
,
(3.40) -
-
немесе
немесе
,
,
(3.41)
, (3.42)
мұндағы
,
және
.
Жазық кернеулік күй жағдайында деформация тензорының арнайы формасынан болып, (1.104) үйлесімділіктің алты теңдеуі жеткілікті дәрежедегі дәлдігі бар өте жұқа пластина үшін келесі бір теңдеуге келтіріледі:
.
(3.44)
Алынған теңдеулер жүйесін түрлендіруге болады және орын ауыстыру компоненті
үшін негізгі теңдеуді аламыз:
немесе (3.45)
,
мұндағы
.
Жазық деформациялы есептер (6.2,б-сурет) үшін орын ауыстыру компонентті
нөлге тең есептелінеді, ал қалған компоненттер тек х1 және х2-нің функциясы деп саналады:
.
(3.46)
Бұл жағдайда есептің қойылуын беретін теңдеулер жүйесі келесі түрде болады:
а)
немесе
,
(3.47)
ә)
немесе
,
,
(3.48)
б)
немесе
,
(3.49)
мұндағы
және 
.
(3.50)
Жазық деформация жағдайында (3.47), (3.48) және (3.49) теңдеулерінен Навье теңдеуінің сәйкес формасы шығады:
немесе (3.51)
.
Дәл жазық кернеулік күйдегіге ұқсас, жазық деформация жағдайында үйлесімділік теңдеуі (3.44) түріндегі бірт теңдеуге келтіріледі.
Егер 3.2,а-суреттегі пластинка қабырғасына түсірілген күш бірқалыпты емес,
пластинканың орта жазықтығына қатысты симметриялы түрде таралса, онда кернеулік
күйді жалпыланған жазық кернеулік күй деп атайды. Бұл жағдайда есеп қою
үшін ақықат шамалар өрісінің
және
айнымалыларын пластина қалындығы бойынша орталандырылған кернеу, деформация және
орын ауыстырумен алмастыру керек. Мұндай орталандырылған айнымалылар жағдайында
есепті тұжырымдау, тура жазық деформация жағдайындағыдай болады, тек ғана
шамасын келесі
.
(3.52)
шамасымен алмастыру керек.
(3.50) теңдіктегі
тұрақты және нөлден ерекше болғанда, серпімділік теория курсында жалпыланған
жазық деформация түсінігі еңгізіледі.
3.2 Эри кернеу функциясы
Егер массалық күштер жоқ немесе тұрақты болса, онда серпімділік теориясының жазық статикалық есептерін (жазық деформация немесе жалпыланған жазық кернеулік күй есептері) шешу үшін Эри кернеу функциясы (егер массалық күштер 0-ден ерекше болса, онда олардың шешімге әсерін, сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесінің дербес интегралдарын табу арқылы суперпозиция принципінің көмегімен, ескеруге болады) жиі қолданылады.
Массалық күштер болмағанда, жазық статикалық есеп үшін тепе-теңдік теңдеуі келесі түрде болады:
немесе
.
(3.53)
Кернеу компоненттері арқылы өрнектелген, үйлесімділікі теңдеуі (Бельтрами-Мичелл теңдеуі) келесі теңдікті береді:
.
(3.54)
(3.53) теңдеуден көрініп тұрғандай кернеу компоненттерін Эри кернеу функциясы
-тің
дербес туындысы түрінде өрнектеуге болады:
.
(3.55)
Бұл жағдайда (3.53) тепе-теңдік теңдеуі тепе-тең қанағаттандырылады, ал (3.54) үйлесімділік шарты бигармоникалық теңдеуге айналады:
.
(3.56)
Бұл теңдеуді қанағаттандыратын функция бигармоникалық деп аталады. Екінші туындыларында бірмәнді бигармоникалық функцияларды пайдаланып, тепе-теңдік теңдеуін де, үйлесімділік шартын да қанағаттандыратын серпімділік теориясының жазық есебінің әртүрлі шешімдерін алуға болады. әрине бұлшешімдерді берілген шекаралық шарттарға келтіру керек.
3.3 Полярлық координатадағы серпімділік теориясының екі өлшемді статикалық есептері
Геометриялық тұрғыдан серпімділік теориясының бірқатар екі өлшемді статикалық
есептерін полярлық координаталар r және
арқылы тұжырымдау оңай.
3.3 – сурет.
(3.57)
түрінде координаталарды түрлендіргенен кейін, сурет 6.3-те көрсетілген кернеу компоненттері келесі полярлық координатада берілген тепе-теңдік теңдеуін қанағаттандырады:
,
(3.58)
,
(3.59)
мұндағы
R және Q – сәйкес бағыттардағы бірлік көлемге келетін массалық күштер компоненттері.Эри кернеу функциясын
түрінде алайық және ол арқылы кернеу компоненттерін өрнектесек:
,
(3.60)
,
(3.61)
.
(3.62)
Үйлесімділіктің теңдеуі қайтадан бигармоникалық теңдеуге әкеледі:
,
(3.63)
мұндағы
.
Тарау IV. ПЛАСТИКАЛЫҚ АҒЫН ТЕОРИЯСЫ
1. Негізгі анықтамалар мен жағдайлар
1.1 Негізгі анықтамалар мен жағдайлар
Серпімділіктің классикалық теориясының заңдарына бағынбайтын, материалдың түсірілген жүктемеге қарсы әсері түрінде немесе қоршаған орта әсеріне жауап беру түрінде пайда болған кез-келген деформацияны серпімді емес деформация деп қарастыруға болады.
Дербес жағдайда, атомдық деңгейдегі дислокация немесе сырғанау нәтижесінде пайда
болатын және өлшемдердің өзгеру қалдығына әкелетін қайтымсыз жылжыту пластикалық деформация деп аталады. Мұндай деформациялар тек, серпімділік
шегі немесе аққыштық шегі деп аталатын бірқатар шектен жоғарғы кернеу
интенсивтілігінде ғана болады. Бұл шекті
деп белгілейміз.
Пластикалылық теориясының негізгі мәселесі пластикалық деформацияның феноменологиялық сипаттамасына сәйкес келетін кернеу мен деформация арасындағы қатынастың математикалық тұжырымдамасынан және пластикалылықтың пайда болу бастамасын көрсету үшін қажетті сандық критериилерді анықтау ережесін құрудан тұрады. Екінші жағынан пластикалық деформацияны микроскопиялық көзқарас тұрғысынан зерттеу қатты дене физикасына жатады.
Пластикалық ағу термині, пластикалық деформациялау процессін белгілеу үшін пластикалық теориясында кеңінен қолданылады. Бірақ ортаның бөлікшелерінің қозғалысы жорамалданатын сұйықтық ағысынан, пластикалық ағу түсінігінің ерекшелігі, ол қосынды деформацияның үзіліссіз өзгеруіне жатады, ал жылдамдық деформация жылдамдығы болады. Расында да, пластикалық күйдегі қатты дене, тыныштықта тұрса да, жанама кернеуді сезінуі мүмкін.
|
|
|
4.1 – сурет. |
Пластикалылық теориясының негізгі түсініктерін еңгізу үшін, бірқатар гепотетикалық материалды жай бір осьтік созылуда сынау кезіндегі кернеудің деформациядан тәуелділігінің диаграммасын қарастырайық.
4.1-суреттегі
,
,
(4.1)
мұндағы F – түсірілген күш, S – үлгінің қима ауданы,
– бастапқы ұзындық, L – үлгінің сол кездегі үзындығы.
-нің
орнына натурал (логарифмдік) салыстырмалы деформацияны алуға болады:
.
(4.2)
Аз деформациялар үшін
.
шектік кернеуге сәйкес келетін аққыштық шегі (Р нүктесі),
қисығын
серпімді және пластикалық облыстарға бөледі.
Серпімділік шегі қалай анықталады. Өкінішке орай, әртүрлі жолдармен.
1) пропорциональдық шек түрінде;
2) 0,2% қалдық деформацияны (
)
беретін
кернеу мәңі түрінде;
3)
түрінде, мұндағы
-
мәңі бұл нүктедегі жанаманың көлбеулігі бастапқы көлбеудің 50% құрайтындығына
байланысты.
Серпімді облыста жүктеу және жүксіздену бір сызықтың бойында жүреді. Әйтпесе, пластикалық облыста толық бір циклде Гистерезис тұзағы (энергияның жоғалуынан) және материалдық беріктену (микродеңгейдегі қайта құрумен келісілген) пайда болады.
Классикалық пластикалық теорияда температуралық және уақыттық құбылыстарды ескермейді.
1.2 Пластикалық іс-әрекеттің идеалданған диаграммасы
Пластикалық деформациялану процесстерін түсіну және макроскопиялық түрде сипаттау үшін орын ауыстыруды деформация ретінде модельдік сипаттау тиімді. Ал F күші кернеу ролін атқарады.
Қатаң идеал-пластикалық және серпімді-идеал-пластикалық материалдар моделдері шектелген пластикалық деформациялар үшін тиімді.
Қатаң-пластикалылық және сызықтық беріктенуі бар серпімді-пластикалық материалдар модельдері шексіз пластикалық деформациялар кезінде қолданылады.
Баушингер
эффектісі қарастырылмайды.
4.2 – сурет.
а) қатаң-идеал-пластикалық материал; б) серпімді- идеал-пластикалық материал; в) сызықтық беріктенуі бар қатаң-пластикалық материал; г) сызықтық беріктенуі бар серпімді-пластикалық материал.
Барлық механикалық модельдерде масса М және горизонталь жазықтық арасындағы үйкеліс елеулі болады.
1
.3 Пластикалылық шарты. Треска және Мизес шарты
Пластикалылық шарты
(критерийі) үш өлшемді кернеулік күйдегі бір осьтік созылудағы аққыштық шегі түсінігінің жалпылауы болады. Математикалық көзқарас түрғысынан пластикалылық шарт, нүктеде пластикалық ағыс басталғанда орындалатын нүктедегі кернеу компоненттерінің арасындағы байланысты білідіреді. Жалпы жағдайда пластикалылық шартты келесі түрде жазуға болады:
,
(4.3)
мұндағы,
– аққыштық тұрақтысы. Кейде бұл шарт келесі теңдеуді береді:
,
мұндағы
– аққыштық функциясы деп
аталады.
Изотропты орта үшін пластикалылық шарт бағыттан тәуелсіз болуы керек, сондықтан кернеу инварианттарының функциясы немесе бас кернеулердің симметриялық функциясы түрінде өрнектелуі мүмкін:
.
(4.5)
Егер жан жақты сығу кернеуі пластикалық деформацияны бермейтінің ескерсек, онда пластикалылық шартын кернеу девиаторларының инварианттарының функциясы түрінде жазуға болады:
.
(4.6)
Пластикалылықтың көптеген шарттарының ішінен келесі екі шарт математикалық тұрғыдан қарапайым және сонымен қатар, жеткілікті дәрежеде дәл. Олар: Треска критериі және Мизес критериі.
1)
Аққыштықтың Треска критерийі (максимальды жанама кернеу теориясы).Бұл критерий бойынша пластикалық сипаттама, максимальды жанама кернеу
шамасының максимальды мәніне ие болғанда басталады.
бас кернеулердегі Треска критериі келесі түрде болады:
.
(4.7)
Тұрақты аққыштық
пен қарапайым созылу кезіндегі аққыштық шегі
арасындағы байланысты өрнектеу үшін, пластикалылық жағдайдағы қарапайым
созылудағы максимальды жанама кернеуді табамыз (мысалы, Мор дөңгелектерінің
көмегімен).
Ол
-ге
тең. Сондықтан (4.7) Треска критерийі келесі түрде болады:
.
(4.8)
-ті
табу үшін сурет 8.3.б-да көрсетілген Мор дөңгелектерінің таза жылжуын
пайдалануға болады. Бұдан
болады. Онда (4.7.) келесі түрде болады:
.
(4.9)
2) Аққыштықтың Мизес критерийі (энергия сығылу формасының теориясы).
Бұл критерий бойынша, пластикалылық сипаттама, кернеу девиаторының екінші инварианты бірқатар критикалық мәңіне ие болғанда басталады. Яғни
немесе
.
(4.11)
4.3 – сурет.
Жай созылу жағдайын қарастыра отырып, (4.11) теңдігін келесі түрде жазуға болады
.
(4.12)
Таза жылжу кезіндегі аққыштық шегі k арқылы жазылған Мизес критерийі келесі түрде болады:
.
(4.13)
1.4 Кернеу кеңістігі. П - жазықтық. Аққыштық беті
П - жазықтығы
oz түзуіне перпендикуляр; oz түзуі -
осьтерімен бірдей бұрыш жасайды.
түзуіндегі кез-келген нүкте гидростатикалық сығуды, ал П жазықтығындағы
компонента жылжу деформациясын білдіреді. ОА - сығылу, ОВ-
девиатор.
4.4 – сурет.
П – жазықтығының теңдеуі келесі түрде болады:
.
(4.14)
Кернеу кеңістігінде (4.5) шарты бірқатар бетті анықтайды. Ол
аққыштық беті деп аталады. Егер пластикалылық шарт гидростатикалық сығылудан тәуелсіз болсын деп жорамалдасақ, онда аққыштықтың сәйкес беттері oz түзуіне параллель цидиндрлер болады. Аққыштықтың цилиндрлік бетінің ішінде жататын, кернеу кеңістігінің нүктелері, серпімді кернеулік күйге сәйкес келеді. Ал аққыштық бетінде жататын нүктелер бастапқы кернеулік күйді білдіреді. Аққыштық беті мен П – жазықтығының қиылысуы аққыштық қисығы деп аталады.Егер
oz түзуінің бойымен координата басы о нүктесіне қарасақ, онда
координата осьтерінің П – жазықтығына проекциясы бір-біріне
бұрышпен симметриялы орналасқаның көреміз (4.5,а-сурет).
4.5 – сурет.
4.5,б-суретте
радиус
,
ал 4.5,в-суретте радиус
.
Треска және Мизес критерийлеріне сәйкес келетін аққыштық қисығы 4.5,б-суретте
және 4.5,в-суретте жазықтықтарда белгіленген. Кез-келген кернеу нүктесі
-нің
П-жазықтығына проекциясының орны тікелей проекциялау арқылы табылады. Себебі
кернеу кеңістігінің әрбір координата осі, П жазықтығымен косинусы
болатын бұрыш жасайды. Онда девиаторлық проекция компоненттері
болады. Кері есепті шешу, яғни П-жазықтығының кез-келген нүктесінің
кернеу компонентін анықтау жалғыз болмайды. Себебі, гидростатикалық кернеу
компоненті кез-келген мән қабылдауы мүмкін.
1.5 Аққыштық шегінің сыртындағы материалдың сипаттамасы. Изотроптық және кинематикалық беріктену
Егер материал идеал-пластикалылық болса, онда пластикалылық деформациялау
процессі кезінде аққыштық беті өзгермейді. Жалпы жағдайда, аққыштық бетінің
өзгеруімен бірге жүреді. Мұндай өзгерулерді ескеру үшін аққыштық функциясы
жалпылануы керек. Себебі бұл функция деформациялану кезіндегі аққыштық бетінің
өзгеруін ескеру үшін (бұл жағдайда аққыштық беті жүктеу беті деп
аталады). Яғни:
,
(4.15)
бұл функция пластикалық деформация
-дан
және сипаттамалық беріктенуден (К беріктену параметрі) тәуелді болады.
серпімді аумақ шекарасын,
жүктелу бетінің ішіндегі серпімді аумақты,
жүктелу бетінің сыртындағы аумақты (оның ешқандай мағынасы жоқ) білдіреді.
Толық дифференциалды табайық:
.
(4.16)
Егер
және
болса, онда жүксіздеу процессі жүреді; егер
және
болса, онда нейтральды жүктеу; ал
және
болса, онда активті жүктеу жүреді.
пластикалық деформациясы (4.15) теңдеуіне кіретін жүктеу процессі беріктену
заңы арқылы анықталады. Ең қарапайымдары: Мизес дөңгелектері, Треска
алтыбұрыштары.
4.6 – сурет.
Жүктелу кезіндегі изотропты беріктену гипотезасы, аққыштық беті бастапқы формасын сақтап, тек ғана өлшемі бойынша өседі дейді.
Кинематикалық беріктену кезінде аққыштықтың бастапқы беті кернеу кеңістігінде өлшемі мен формасын сақтап, жаңа орынға орның ауыстырады. Онда бастапқы аққыштық беті келесі түрде болады:
,
(4.17)
мұндағы
– аққыштықтың барлық беті бойынша центрдің координатасы.
Егер беріктену сызықтық болса, онда
;
c=const.
2. Пластикалылық күй жағдайындағы кернеу мен деформация арасындағы қатынас
2.1
Пластикалылық күй жағдайындағы кернеу мен деформация арасындағы қатынас. Пластикалылық потенциал теориясы
Пластикалық деформация материалдың жүктелудің тарихынан тәуелді болғандықтан, пластикалылық теорияда кернеу мен деформация арасындағы қатынасты деформацияның өсімшесі арқылы тұжырымдайды. Бұл инкрементальдық теория және ағыс теориясы. Мысалы, Леви-Мизес теңдеуі:
,
(4.19)
мұндағы
- скаляр функция. (4.19) теңдеу қатаң-идеал-пластикалық материал ағысының
заңы.
Айталық,
,
(4.20)
және
.
(4.21)
(4.21) теңдеу
Прандтл-Рейс теңдеуі. Ол серпімді-идеал-материалдың ағыс
заңын сипаттайды және пластикалық деформация өсімшесін кернеу девиаторымен
байланыстырады. Келесі қасиетке ие
функциясы пластикалық потенциал деп аталады:
.
(4.22)
2.2 Эквиваленттік кернеулер. Пластикалық деформацияның эквиваленттік өсімшесі
Эквиваленттік (эффективтік) кернеуді
экв
еңгізейік:
(4.23)
немесе
экв=
.
(4.24)
Эквиваленттік (эффективтік) пластикалық деформация өсімшесін
экв
еңгізейік:
(4.25)
немесе
экв=
.
(4.26)
(4.21), (4.24) және (4.26) формулаларынан, келесі теңдіктерді аламыз:
;
.
(4.27)
2.3 Пластикалық деформациялардағы жұмыс. Беріктену гипотезасы
Бірлік көлемдегі жұмыс өсімшесі:
.
(4.28)
(4.20) формулаға сәйкес
.
(4.29)
(4.19) теңдігін аламыз.
Пластикалық деформациялардағы жұмыс өсімшесі келесі теңдікпен анықталады:
.
Е
гер (4.21) теңдік орындалатын болса, онда
,
(4.31)
ал (4.21) келесі түрде болады:
.
(4.32)
Беріктенудің энергетикалық гипотезасы былай дейді: аққыштықтың лездік беті тек ғана пластикалық деформациядағы толық жұмыстан тәуелді. Толық жұмыс келесі өрнек арқылы анықталады:
,
(4.33)
ал пластикалылық критерий келесі теңдік арқылы анықталады:
,
мұндағы функцияның дәл мәңі экспериментальды түрде анықталады
.Беріктенудің деформациялық гипотезасында, беріктену пластикалық деформация шамасы арқылы анықталады:
.
(4.35)
Беріктену заңы
,
(4.36)
түрінде болады. Мұндағы функция түрі экспериментальды түрде анықталады.
2.4
Пластикалылықтың деформациялық теориясы
Кернеу мен толық деформация арасындағы байланыс
,
(4.37)
,
(4.38)
түрінде жорамалданатын, пластикалылықтың деформациялық теориясы (Генк-Ильюшин) бар болады.
(4.37) және (4.38) формулалары Генк теориясының тәуелділік формулалары. Генк
параметрі
келесі формула арқылы анықталады:
.
(4.39)
мұндағы
.
Онда
.
(4.40)
2.5 Серпімді-пластикалылық есептері
Серпімді және пластикалық деформациялар бірдей ретті болатын жағдайларды, әдетте серпімді-пластикалық есептерге жатқызады. Жалпы жағдайда серпімді аумақта, пластикалық аумақта және олардың арасындағы шекарадағы есептерді қою кезінде келесі қатынастар қолданылады:
4.7 – сурет.
а)
Серпімді облыста:-
(
(3.23) немесе (3.24) кернеу мен деформация арасындағы байланыс
шекаралық шарт;
үйлесімділік шарты.
б)
Пластикалық облыста:(1.23) тепе-теңдік теңдеуі;
(4.20), (4.21) және (3.24) кернеу мен деформация өсімшесі арасындағы байланыс;
толық деформациялардың үйлесімділік шарты;
(4.8) немесе (4.11) пластикалылық шарты;
пластикалық облыс шекарасындағы шекаралық шарт.
в) Серпімді және пластикалық облыс арасындағы шекарада
кернеу мен деформация үзіліссіздігі.
2.6
Шексіз пластикалық деформациялау кезінде, серпімді деформацияны жиі ескермеуге және материалды қатаң-идеал-пластикалық орта деп қарастыруға болады. Жазық деформация жағдайы үшін сырғанау сызық теориясын қарастырайық.
Айталық,.
– ағыс жазықтығы болсын. Онда
(4.41)
Серпімді деформацияларды ескермейтін болғандықтан, пластикалық деформацияның жылдамдық тензоры келесі түрде болады:
(4.42)
(4.41) және (4.42) өрнектеріндегі белгісіздер тек ғана
-нің
функциясы болады. Сонымен қатар,
,
(4.43)
мұндағы
- жылдамдық компоненті.
Жазық деформация жағдайында
.
Онда (4.21) Прандтл-Рейсс теңдеуінен
компоненті үшін келесі формуланы аламыз:
.
(4.44)
Сырғанау сызық теориясының қарапайым белгілеулерін
,
пайдаланып, (4.41) кернеу тензорының бас мәндерін табамыз:
,
,
.
(4.45)
осіне қатысты кернеу тензорының бас бағыттарының орналасуы
бұрышы арқылы анықталады. Мұндағы
және ол 4.8.а-суретте көрсетілген.
4.8 – сурет.
Максимальды жанама кернеу ауданының бағыты сурет 4.8,а-да сәйкесінше
арқылы белгіленген. Суреттен көрініп тұрғандай
және
.
(4.46)
Пластикалық ағыс кезіндегі кернеу өрісі үшін, максимальды жанама кернеу бағытындағы әрбір нүктеде қисықтардың екі жиының(семейства) еңгізуге болады. Бұл қисықтар жылжу сызығы немесе сырғанау сызығы деп аталады.
Сурет 4.8,б-да көрсетілген, екі жұп сырғанау сызығымен шектелген кішкентай элементті қарастырайық.. Онда
,
,
(4.47)
.
Тепе-теңдік теңдеуін пайдаланып, келесі теңдіктерді дәлелдеуге болады:
(4.48)
– сызығының бойындағы тұрақты,
,
– сызығының бойындағы тұрақты.
Жылдамдық компоненттері,
сызығының орнымен, келесі түрде байланысқан:
,
(4.49)
.
Ағыс теориясындағы изотропты орта үшін, кернеу тензорының бас осьтері және
пластикалық деформация жылдамдығы бірдей болады. Сондықтан, егер
- сырғанау сызығының бағыты болса, онда бұл сызықтардын бойында
компоненттері нөлге тең. Сондықтан
,
(4.50)
.
(4.51)
Осыдан келесі қатынастар шығады:
- сызығында
,
(4.52)
- сызығында
.
(4.53)
Сонымен, статикалық түрде анықталатын есептер үшін, сырғанау сызығының өрісі (4.48) формуладан табылады. Одан кейін осы өрісті және (4.52), (4.53) формулаларын пайдаланып жылдамдық өрісін салуға болады.
Тарау V. СЫЗЫҚТЫҚ ТҰТҚЫРЛЫ СЕРПІМДІЛІК
1. Сызықтық тұтқырлы серпімділік
1.1. Материалдың тұтқырлы серпімділік сипаттамасы
Серпімді дене түсірілген жүктемені алғанан кейін өзінің деформацияланбаған күйәне қайтып келеді.
Сығылмайтын тұтқыр сұйықтықтарда жүктемені алғанан кейін өзінің бастапқы күйіне қайтып келмейді.
Сонымен қатар, серпімді денедегі кернеу деформациядан тәуелді, ал сұйықтықтарда деформация жылдамдығынан тәуелді болады.
Осы екі қасиеттер де, яғни серпімділік және тұтқырлық қасиеттері бар материалдар тұтқырлы серпімді материал деп аталады.
1.2. Тұтқырлы серпімділік сипаттамалары бар қарапайым механикалық модельдер
Сызықтық тұтқырлы серпімділікті, механикалық модельдер арқылы көрсету қолайлы.
Бұл модельдер серпімділік модулі
болатын сызықтық серпімді серіппенің және тұтқырлық коэффициенті
болатын тұтқыр элементтен (демпфер) құрылады.
5.1 – сурет.
,
(5.1,а-сурет) (5.1)
.
(5.1,б-сурет)
5.2 – сурет.
(5.3), (5.4)- бір өлшемді жағдайындағы тұтқырлы серпімділіктің анықтауыш
теңдеулері. Оларды уақыт бойынша дифференциалдаудың сызықтық операторы
пайдаланып операторлық формасында келесі түрде жазамыз:
(5.5)
және
.
(5.6)
Нақты денелердің қасиеттерін дәлірек сипаттау үшін Максвелл және Кельвин модельдерінің комбинациясы қарастырылады.
5.3 – сурет.
Кез-келген үш және төрт параметрлі модельдер үшін кернеу мен деформация арасындағы қатынас келесі жалпы формула арқылы беріледі:
5.4 – сурет.
,
(5.7)
мұндағы
және
коэффициенттері
коэффициенттерінің комбинациясын білдіреді және модельдегі элементтерді қосу
тәсілінен тәуелді болады. (5.7) формуласын операторлық формада келесі түрде
жазамыз:
.
(5.8)
1.3 Жалпыланған модельдер. Сызықтық дифференциалдық операторлық теңдеу
Кельвиннің жалпыланған моделі 5.5-суретте көрсетілген.
5.5 – сурет.
Кельвиннің жалпыланған моделінің анықтауыш теңдеуі келесі түрде болады:
.
(5.9)
Максвеллдің жалпыланған моделі сурет 9.6-да көрсетілген және анықтауыш теңдеуі келесі түрде болады:
.
5.6 – сурет.
Жалпыланған модельдер үшін (5.9) және (5.10) қатынастарын келесі түрде жазуға болады:
,
(5.11)
.
(5.12)
Бұл операторлық теңдеуді келесі түрдегі символдық формада жазуға болады:
,
(5.13)
,
.
(5.14)
1.4 Жылжымалылық және бәсеңдеу (релаксация)
Жылжымалылыққа және бәсеңдеуге сыңау тұтқырлы серпімділіктің негізгі эксперименттері болып табылады.
Жылжымалылыққа сыңау эксперименті нұсқаға лездік кернеу
-ді
түсіріп,
-ді
өлшеуге негізделген.
Бәсеңдеуді сыңау эксперименті нұсқаны лезде
-мен
деформациялап,
-ны
өлшейді.
Жүктеу және бәсеңдеу процессі математикалық түрде бірлік сатылы функция
арқылы беріледі:
(5.15)
5.5 – сурет.
Жылжымалылық кезінде
.
(5.16)
Кельвин моделі кезінде жылжымалылық деформациясы, (5.16) және (5.4) дифференциалдық теңдеулерінің шешімі мен анықталады:
,
мұндағы
- кешігу уақыты деп аталады.
Онда келесі қатынас орынды:
.
(5.17) теңдеуді шешіп және (5.18)-ді пайдаланып, келесі теңдікті аламыз:
.
(5.19)
5.8-суретінде Кельвин және Максвелл материалдары үшін жылжымалылық деформациясына сәйкес келетін тәжірбиедегі жылжымалылықтың жүктелу заңы көрсетілген.
5.8 – сурет.
а) тәжірбиедегі жылжымалылықтың жүктелу заңы, б) жылжымалылық деформациясы.
Максвелл материалына деформация түсірілгенен кейін
,
(5.20)
заңы бойынша өзгеретін кернеудің бәсеңдеуі, (5.20) және (5.3) дифференциалдық тендеулерінің шешімімен беріледі:
,
(5.21)
мұндағы
– Дирактың дельта функциясы.
Анықтама бойынша
,
(5.22а)
.
Бұл функция үшін келесі қатынас орындалады:
,
(5.23)
оның көмегімен (5.21) теңдеуді интегралдауға болады, яғни
.
(5.24)
Кельвин материалы үшін кернеудің бәсеңдеуі (5.4) теңдеуіне
өрнегін тікелей қою арқылы беріледі:
.
(5.25)
1.5 Жылжымалылық функциясы. Бәсеңдеу функциясы. Мұрагерлік интегралы
Арнайы
түріндегі жүктемеден пайда болған кез-келген материалдың жылжымалылық
деформациясы келесі түрде жазылуы мүмкін:
.
Мұндай
функциясы жылжымалылық функциясы деп аталады. Мысалы Кельвиннің
жалпыланған моделі үшін жылжымалылық функциясы келесі түрде анықталады:
мұндағы
- материалдын икемділігі
деп аталады.
Егер
ж
тұрақтыларының ақырғы жиынтығын икемділіктің үзіліссіз функциясы
-мен
алмастыруға болатын болса, онда Кельвиннің жылжымалылық функциясы келесі түрде
болады:
(5.28)
мұндағы
кешігу уақытын бөлу функциясы немесе кешігу спектрі деп аталады.
Бәсеңдеу жылжымалылығына ұқсас,
түріндегі деформация әсерінде болатын кез-келген кернеу келесі түрде жазылуы
мүмкін:
,
(5.29)
мұндағы
бәсендеу функциясы. Максвелдің жалпыланған моделі үшін бәсеңдеу функциясы (5.24)
формуласына сәйкес келесі түрде анықталады:
.
(5.30)
болғанда
,
(5.31)
мұндағы
функциясы – бәсеңдеу спектрі деп аталады.
Сызықтық тұтқыр серпімділік кезінде суперпозиция принципі орындалады, яғни «себептер» қосындысының толық «эффектісі», әрбір «себептердің» «эффекттілерінің» қосындысына тең болады.
5.9 – сурет.
Айталық, сатылы жүктеме түсірілген болсын. Онда жылжымалылық деформациясы келесі формула бойынша есептеледі:
.
Айталық, жүктеме кез-келген болсын. Онда
,
(5.33)
– мұрагерлік интегралы деп аталады.Е
гер t=0 болғанда
және
болса, онда
.
(5.34)
Егер
t=0 болғанда кернеудің кенет өзгерісі
болса, онда
.
(5.35)
Бәсеңдеу функциясы
және
деформациялау тарихын салыстырмалы түрде талқылауға назар аударсақ, келесі
теңдікті жазуға болады:
.
t
=0 болғанда
және
болса, онда
және
.
(5.38)
және
арасындағы байланыс келесі қатынас арқылы анықталады:
,
(5.39)
мұндағы
(5.40)
(5.40) – Лаплас түрлендіруі деп аталады.
1.6 Комплекстік модульдері және икемділік
Егер тұтқыр серпімді материалдан жасалған үлгі
заңы бойынша бір өлшемді жүктеуге тап болатын болса, онда
түріндегі деформацияланған күй пайда болады. Яғни деформация фаза бойынша
бұрышына кешігеді.
5.10 – сурет.
Мұндай жағдайда кернеу және деформацияны графикалық түрде, тұрақты ұзындықтары
бар және тұрақты
бұрыштық жылдамдығымен айналатын векторлардың вертикаль проекцияларымен беруге
болады. Бұнда
– абсолют динамикалық модуль,
– абсолют динамикалық икемділік. Кернеу мен деформацияның айналып тұрған
векторлардың фаза бойынша түйіспейтін және түйісетін компоненталары келесі
коэффициенттерді анықтау үшін қолданылады:
а)
жинау модулі
,
ә) жоғалту модулі
,
б) жинау икемділігі
,
в) жоғалту икемділгі
.
Жоғарыда айтылған материалдың тұтқыр серпімділік сипаттамасын жалпылау үшін комплекстік форманы пайдаланамыз
:
,
(5.41)
,
(5.42)
,
(5.43)
мұндағы
– комплекстік модуль.
Осыған ұқсас комплекстік икемділік
.
(5.44)
5.11 – сурет.
векторлық диаграммасы ( анықтама бойынша
екенің ескертеміз) 5.11-суретте көрсетілген.
1.7 Үш өлшемді теория
Үш өлшемді жағдайда
және
тензорлары девиаторлық және шарлық бөлікке жіктеледі:
,
(5.45)
.
(5.46)
Операторлық формада
,
(5.47а)
,
(5.47б)
мұндағы {P}, {Q}, {M} және {N} – сәйкесінше (5.14) формула арқылы анықталған дифференциалдық операторлар, ал сандық көбейіткіштер қолайлық үшін енгізілген. Себебі, барлық материалдар аз гидростатикалық жүктемеге серпімді әсер ететіндіктен, ұлғаюға байланысты {M} және {N} операторлары ретінде әдетте тұрақтыларды алады және (5.47) қатынас келесі түрге түрленеді:
,
(5.48а)
,
(5.48а)
мұндағы К – серпімділіктің көлемдік модулі.
Форманың бұрмалану эффектісі және көлем шамасының өзгеруінің жалпы ережесіне сүйеніп, тұтқыр серпімділіктің үш өлшемді анықтауыш қатынасын жылжымалылық интегралы
,
(5.49,а)
,
(5.49,б)
және бәсеңдеу интегралы
,
(5.50,а)
.
(5.50,б)
формасында еңгіземіз.
Таза жылжу және таза ұлғаю үшін жазылған жалпыланған теңдеулер келесі түрде болады:
,
(5.51,а)
.
(5.51,б)
1.8 Тұтқыр серпімді кернеулік күйді талдау.
Айталық,
- беттік күштер,
- беттің жылжуы,
- массалық күштер.
Есептің қойылуы
:Қозғалыс теңдеуі
.
Деформацияның орын ауыстыру арқылы өрнектелуі
,
(5.53)
немесе жылдамдық деформациясының жылдамдық арқылы өрнектелуі
.
(5.54)
-
Шекаралық шарттар
бетінде
,
бетінде
.
Бастапқы шарттар
.
Келесі теңдеулердің біреу арқылы анықталған анықтауыш теңдеу:
5.12 – сурет.
а)
(5.48) сызықтық дифференциалданатын оператор арқылы
б)
мұралық интегралы, яғни (5.49) немесе (5.50) формасы арқылы;в) (5.51)
комплекстік модуль арқылы.Тарау VI. Теориялық материалдардыды пысықтауға арналған есептер
1 тарауды пысықтауға арналған есептер
№1.1.
және
кернеу векторлары сәйкесінше
және
беттерінің элементтеріне Р нүктесінде әсер етеді.
бағытындағы
компоненті
бағытындағы
компонентіне тең екенің дәлелде (1.1-сурет)
1.1 – сурет.
№1.2. Р нүктесіндегі кернеу тензоры келесі түрде берілген:
.
бірлік нормаль векторлы аудандағы Р нүктесіндегі кернеу векторын
анықтаңыз.
№1.3. 1.2-есептің кернеу векторы үшін келесілерді анықтаңыз:
а) ауданшаға перпендикуляр компонентті;
б)
модулін;
в)
және
арасындағы бұрышты.
№1.4.
Үш координата ауданшаларына әсер ететін
кернеу векторлары берілген. Осы векторлар модульдерінің квадраттар қосындысы,
координата жазықтықтарының ориентациясынан тәуелсіз екенің дәлелденіз.
№1.5. Бір нүктедегі кернеулік күй келесі кернеу тензорымен берілген:
,
мүндағы а,
b,с – тұрақтылар, ал
-
бірқатар кернеу мәні. а,b,с
тұрақтыларын
бірлік нормальдыоктаэдрлік аудандағы кернеу векторы нөлге тең болатындай етіп
табыныз.
№1.6. Р нүктесіндегі кернеу тензоры келесі түрде берілген:
.
Р нүктесі арқылы өтетін АВС жазықтығына параллель аудандағы кернеу евкторын табыныз (1.2-сурет).
1.2 – сурет.
№1.7.
Тұтас ортаның кез-келген нүктесіндегі кернеулік күй
.
Тензоры арқылы берілген.
нүктесіндегі (1.3-сурет)
цилиндрлік бетпен жанамалы аудандағы кернеу векторын табыныз.
1.3 – сурет.
№1.8.
Егер 1.7-есептегі кернеу таралу кезінде барлық жерде тепе-теңдік теңдеуі орындалса, массалық күш компоненттері қандай болатының көрсет.
№1.9.
«Тұтас орта механикасына кіріспе» курсының лекциясындағы (1.20) теңдеуін (1.19) теңдеуінен қорытып шығарыныз.
№1.10.
Ох1х2х3 декарт координата жүйесіндегі бір нүктедегі кернеулік күй
тензоры арқылы берілген.
осьтеріне қатысты
-ті
табыныз. Штрихті осьпен штрихсіз осьтер арасындағы түрлендіру тензоры келесі
матрица арқылы берілсін:
.
№1.11.
Кернеуді түрлендіру заңың,
бірлік векторлы нормальды кез келген аудандағы нормальды кернеу шамасына
өрнегін қолдану арқылы алуға болатының дәлелде.
№1.12.
Штрихсіз осьтер жүйесінде кернеу тензоры (1.4-сурет)
түрінде берілген. Штрихті жүйедегі кернеу тензорын табыныз. Бағыттары суретте көрсетілген.
1.4 – сурет.
№1.13.
Келесі кернеулік күйлер үшін Р нүктесіндегі Коши кернеуінің беттерін анықтаңыз:а)
бірқалыпты жан жақты созылу (сығылу)
;
б)
біросьтік созылу (сығылу)
;
в)
жай ығысу
;
г)
жазық кернеулік күй
.
№1.14.
Келесі тензор мен
,
берілген кернеулік күй үшін, егер a,b,c бірдей таңбалы болса, Коши кернеу беті эллипсоид болатының дәлелде.
№1.15.
декарт осьтеріндегі Р нүктесіндегі кернеу тензоры
түрінде берілген.
осіне байланысты болатын бас кернеу мен бас бағыттарды анықтаңыз.
№1.16.
1.15-есептегі табылған, бағыттауыш косинустардан тұратын түрлендіру матрицасы, бастапқы кернеу тензорын диагональдық түрге келтіретінің, яғни
осьтері бас осьтер болатының дәлелде.
№1.17.
Келесі кернеу тензорының бас кернеуі мен бас осьтерін анықтаңыз:
.
№1.18.
осьтері (мұндағы
және
осьтері бір вертикаль жазықтықта, ал
және
- бір горизонталь жазықтықта жатады) де 1.17-есептегі кернеу тензорының бас
осьтері болатының дәлелде.
№1.19.
Бас осьтерді
коэффициенттермен түрлендіруден шығатын кез-келген жүйедегі
бас кернеу және
кернеу компоненттері
қатынасымен байланысқаның дәлелде.
№1.20.
- кернеу тензорының инварианты болатының дәлелде.
№1.21.
Келесі кернеу тензорынан тікелей есептеу арқылы
инварианттарын табыныз:
.
Бұл кернеулік күй үшін бас кернеуді табыныз және диагональдық форма да тура сол инварианттарға әкелетінің дәлелде.
№1.22.
Кернеудің бас бағыттарымен бірдей бұрыш жасайтын ауданды октаэдрлік деп атаймы (1.5-сурет).
1.5 – сурет.
Бұл ауданға жанама кернеу октаэдрлік жанама кернеу деп аталады және оның келесі формула арқылы анықталатының дәлелде:
.
№1.23.
Бірқатар нүктеде кернеу тензоры
түрінде берілген. Осы нүктедегі максиамльды жанама кернеуді табыныз және оның максимальды және минимальды нормаль кернеулер аудандар арасындағы бұрышты қақ бөлетін жазықтыққа әсер ететінің дәлелде.
№1.24.
№1.23 – есепте сипатталған кернеулік күй үшін Мор дөңгелектерін салыныз. Негізгі нүктелерді белгіленіз.
координата осьтер жүйесімен (
компонеттеріне сәйкес келетін)
бас осьтер арасындағы байланысты анықтаңыз және
координата жазықтар жүйесінде кернеулік күйді сипаттайтын нүктені Мор
диаграммасына еңгізініз.
№1.25.
координата жүйесіндегі бірқатар нүктедегі кернеулік күй
компоненттерімен берілген. Бірлік нормальды ауданшадағы кернеу векторының компоненттерін аналитикалық түрде анықтаңыз.
№1.26.
1.6-суретте көрсетілгендей, қабырғалары координата осьтеріне параллель, элементар кубқа әсер ететін кернеу сәйкес келетін жазық кернеулік күйдің үш жағдайы үшін Мор дөңгелектерін салыныз.
1.6 – сурет.
Әр жағдай үшін максимальды жанама кернеуді анықтаныз
.
№1.27.
Келесі кернеу тензорын шар тензорына жіне девиаторға жікте:
.
Девиатордың бірінші инврианты нөлге тең екенің дәлелде.
№1.28.
Кернеу девиаторы бес жай ығысудың суперпозициясына эквивалент екенің дәлелде.
№1.29.
Келесі тензор үшін кернеу девиаторының бас мәндерін анықтаңыз:
.
№1.30.
Кернеу девиаторының екінші инварианты, девиатордың бас мәні арқылы
немесе
түрінде жазуға болатының дәлелде.
№1.31.
Кез-келген симметриялы тензор, мысалыкернеу тензоры
,
бір жүйеден екінші жүйеге өткенде
симметриялы тензорға түрленетінің дәлелде.
№1.32.
Р нүктесіндегі бас кернеу
түрінде болсын.
және
болатын аудандағы
- нормалының бірлік векторын анықтаңыз.
№1.33.
кернеу тензорын шарлық бөлікке және девиаторға бір тәсілмен ғана жіктеуге
болатының дәлелде.
№1.34.
Егре
- нақты компоненталы симметриялы тензор болса, онда оның бас кернеуі де нақты
болатының дәлелде.
№1.35.
Лагранж көбейіткіштер әдісін пайдаланып
-нормальды
кернеудің экстремальды (максимальды және минимальды) мәндері бас кернеулермен
бірдей болатының дәлелде.
№1.36.
кернеу компоненттері
қатынасының көмегімен
симметриялы тензор өрісінен алынсын. Массалық күштер болмағанда (1.23)
тепе-теңдік теңдеуі орындалатының дәлелде.
№1.37.
§1.9-да айтылғандай
радиус-векторлы нүктедегі Коши кернеу бетінің нормалі,
кернеу векторына параллель екенің дәлелде.
№1.38.
осьтерінен кесілген, Р нүктесіндегі кернеу тензоры
түрінде болсын. Айталық,
жаңа осьтері санақ басыныі маңайында бұру арқылы алынсын. Яғни
түрлендіру матрицасы арқылы. Бастапқы осьтегі кернеу векторын штрихті ось
бағытына проекциялау арқылы, штрихті жүйедегі әрбір координата аудандарындағы
кернеу векторын табыныз. Сол арқылы
анықтау керек. Нәтижені (1.27) түрлендіру формуласымен тексеріңіз.
№1.39.
Кернеу девиаторының екінші инварианты
,
октаэдрлік жанама кернеу мен
қатынасымен байланысқаның дәлелде.
№1.40.
Дененің барлық нүктесіндегі кернеулік күй
,
мұндағы с – кез-келген тұрақты, кернеу тензорымен берілген.
а) егер массалық күштер нөлге тең болса, тепе-теңдік теңдеуі орындалатының дәлелденіз.
б)
жазықтығындағы және
сферасындағы Р(4,-4,7) нүктесіндегі кернеу векторын анықтаңыз.
в) Бас кернеуді, максимальды жанама кернеуді және Р нүктесіндегі кернеу девиаторының бас мәнің анықтаңыз.
г) Р нүктесіндегі кернеулік күй үшін Мор дөңгелектерін салыныз.
2 тарауды пысықтауға арналған есептер
№2.1.
Біріктірілген
материалдық осьтері және
кеңістіктік осьтеріне қатысты тұтас ортаның х1=Х1; х2=Х2+АХ3; х3=Х3+АХ2, мұндағы А –константа, түріндегі орын ауыстыру өрісі берілген. Орын ауыстыру векторының компоненталарын материалдық және кеңістіктік формасында (лагранждық және эйлерлік айнымалыларды) табыныз.
№2.2. №
2.1-есептегі орын ауыстыру өрісі үшін, материальдық бөлікшенің жылжытылған орның анықтаңыз. Егер ол басында:а) Х1=0
жазықтығында
шекарасы бар шеңбер болса;
б)
қабырғалары координата осьтерінде жататын және dXi=dX ұзындығы бар шексіз аз куб болса.Егер
болса, онда «а» және «б» жағдайлары үшін жылжытылған орынның сүлбасын салыныз.
№2.3.
Біріктірілген материалдық және кеңістіктік осьтерге қатысты
орын ауыстыру векторы берілген. басында (1; 0; 2) нүктесінде орналасқан бөлікшенің жылжыған орның анықтаңыз.
№2.4.
Xi ортогональды декарттық материалдық координата жүйесінде
орын ауыстыру өрісі берілсін (мұндаы А – константа). Егер екі жүйенің де басы бір нүктеде болса, онда хi цилиндрлік кеңістіктік жүйеде орын ауыстыру компоненталарын анықтаңыз.
№2.5.
Деформация лагранждық формада берілген:
,
,
, мұндағы е константа.
якобианның нөлден ерекше екенің және осы деформацияны сипаттайтын эйлерлік теңдеуді табыныз.
№2.6.
-ті және орын ауыстырудың материалдық градиенті
-ді анықтаңыз. (1.24) формуланың ақиқаттығын, яғни
екенің дәлелденіз.
№2.7.
Тұтас ортаның бірқатар көлемі келесі түрде орын ауыстырсын:
. А(1; 0; 3) және В(3; 6; 6) бөлікшелерін қосатын ығысу фекторының орның анықтаңыз. Материалдық және кеңістіктік осьтер біріктірілген.
№2.8.
2.7-есептегі орын ауыстыру өрісі үшін А және В бөлікшелерін қосатын векторға параллель С(2; 6; 3) бөлікшесінің жылжығандағы радиус-векторын аныөтаңыз. Бұл екі вектордың деформациядан кейін де параллель болатының дәлелде.№2.9.
Егер орын ауыстыру өрісі
, мұндағы Aij – тұрақты немесе уақыт функциясы да болуы мүмкін, түрінде берілсе, онда деформация біртекті деп аталады. Мұндай деформациялар үшін келесі қасиеттерді дәлелденіз:
а) жазық қима жазық болып қалады,
б) түзу сызықтар түзу болып қалады.
№2.10.
Егер
формуласындағы Aij олардың көбейтіндісін ескермеуге болатындай, соншалықты аз болса, онда деформация шексіз аз біртекті деформация деп аталады. Екі тізбектелген шексіз аз деформация нәтижесінде пайда болатын толық деформацияны, реті орын ауыстыру кезіндегі ақырғы пішіндеме әсер етпейтіндей екі жеке деформацияның қосындысы ретінде қарастыруға болатының дәлелде.
№2.11.
Тұтас ортаның бірқатар көлемі деформациядан өтеді: х1=Х1, х2=Х2+АХ3, х3=Х3+АХ2, мұндағы А – константа. Грин деформация тензоры
-ді табыныз және оны қолданып, ақырғы деформациялардың лагранж тензоры
-ді тап.
№2.12.
2.11-есептегі орын ауыстыру өріс жағдайындағы ОА және ОВ қабырғаларының ұзындық квадраты (dx)2 және 2.1-суретте көрсетілген кішкентай тікбұрыштын деформациядан кейінгі ОС диагоналын анықтаңыз.
2.1 – сурет.
№2.13. 2
.12-есептегі сызықтық элементтің ұзындық квадратының өзгеруін анықтаңыз және нәтижені 2.11-есепте табылған деформация тензорын пайдаланып (1.36) формула бойынша тексерініз.
№2.14.
2.11-есептегі орын ауыстыру өрісі үшін жылжудың материалдық градиенті
-ді анықтаңыз және бұл тензорды ақырғы деформациялардың лагранждық тензоры
-ді анықтау үшін пайдаланыз нәтижені 2.11-есептегі нәтижемен салыстыр.
№2.15.
Орын ауыстыру өрісі
,
,
, мұндағы А – константа, түрінде берілген. Сызықтық деформацияның лагранж тензоры
-ді және сызықтық деформацияныңэйлер тензоры
-ні анықтаңыз. А тұрақтысы өте аз болғанда
және
-ні салыстыр.
№2.16.
Орын ауыстыру өрісі
формуласымен берілсін. Р(1,2,-1) нүктесіндегі
осінің бағытындағы
салыстырмалы орын ауыстыруды анықтаңыз.
,
,
нүктелері үшін
салыстырмалы орын ауыстыруды анықтаңыз және олардың бағытын
бағытымен салыстырыныз.
№2.17.
2.16-есептегі орын ауыстыру өрісі үшін Р(1,2,-1) нүктесінен Q(4,2,3) нүктесіне қарай қарай бағытталған бірлік вектордың салыстырмалы орын ауыстыруын анықтаңыз.№2.18.
түріндегі орын ауыстыру өрісі үшін аз деформациялар теориясында қабылданған
шектеуі орындалсын. Р(0,2,-1) нүктесіндегі сызықтық деформация тензорын сызықтық бұрылу тензорын және бұрылу векторын анықтаңыз.
№2.19. №
2.18-есептегі орын ауыстыру өрісі үшін
бағытындағы Р(0,2,-1) нүктесінің бастапқы ұзындық бірлігіне (салыстырмалы ұзару) келетін ұзындықтың өзгеруін табыныз.
№2.20.
Аз деформациялар теориясында,
және
екі ортогональ бірлік векторлар арасындағы тік бұрыштын өзгеруі деформацияланбаған пішіндемеде
формула-сымен берілетінің дәлелде.
№2.21. №2
.20-есептің нәтижесін пайдаланып, 2.18-есептегі орын ауыстыру өрісі үшін, Р(0,2-1) нүктесіндегі
және
векторларының арасындағы тік бұрыштың өзгеруін табыныз.
№2.22. №
2.11-есептегі х1=Х1, х2=Х2+АХ3, х3=Х3+АХ2 жылжу деформациясы үшін Х1 осіне параллеь сызықтық элементтің
ұзындық коэффициентін бірге тең болатының (салыстырмалы ұзару нөлге тең) дәлелде. 2.3-суреттегі шексіз аз ОВСD квадраттың диагоналдық ОС және DB бағыттары үшін
табыныз. Нәтижені орын ауыстыру өрісінен тікелей есептеу арқылы салыстырыныз.
2.2 – сурет.
№2.23.
Егер
векторы арқылы сипатталатын бағыт
векторының бағытының деформациясынан алынған болса, онда
және
ұзындық коэффициенттері тең болады. Егер
болса, онда №2.22-есептегі орын ауыстыру өрісі үшін
анықта және оның ОС диагоналы үшін табылған
-ға тең екенің дәлелде.
№2.24.
х1=Х1, х2=Х2+АХ3, х3=Х3+АХ2 жылжу деформациясындағы
деформация градиентінің полярлық жіктелуін пайдаланып, ұзындық коэффициентінің оң тензоры
және бұрылу тензоры
– ді анықтаңыз.
тензорының бас мәндері №2.22 – есептегі ОС және DВ диагоналының ұзындық коэффициенттері болатының дәлелде.
№2.25.
Қатты дененің шексіз аз бұрылуы
,
,
, мұндағы А, В, С – шексіз аз тұрақтылар, формуласымен берілген. Егер квадраты және тұрақтылар көбейтіндісі бар мүшелерді ескермесек, онда жіктелудің жоқ екенің
дәлелде.
№2.26.
х1=Х1, х2=Х2+
Х3, х3=Х3+
Х2 жылжу деформациясы үшін
және
тензорларының бас бағыттары №2.24-есепте айтылғандай бірдей болатының дәлелде.
№2.27.
(1.37) анықтаманы пайдаланып
және
координаталарды түрлендіруде ақырғы деформациялардың
лагранж тензоры, екінші рангілі декарт тензоры сияқты түрленетінің дәлелде.
№2.28.
Бірқатар біртекті деформация өрісі
түріндегі ақырғы деформациялардың тензорына әкеледі. Бас деформацияны және бас осьтерді анықтаңыз
.№2.29.
х1=
Х1, х2=2Х2, х3=
Х3-Х2 түріндегі біртекті деформация үшін
сфералық бетінің деформациясынан пайда болатын деформацияның материалдық эллипсоидын анықтаңыз. Бұл эллипсоид
теңдеуімен өрнектелетінің дәлелде.
№2.30. №
2.29-есептегі деформация үшін деформацияның кеңістіктік эллипсоид теңдеуін анықтаңыз және оның теңдеуі
түрінде болатының дәлелде.
№2.31.
Тікелей жіктеу арқылы, деформация тензорының IIL екінші инварианты
түрінде болатының дәлелде
.№2.32.
Біртекті ақырлы деформация ui=AijXj қатынасымен сипатталады, мұндағы Aij – тұрақты. Көлемнің салыстырмалы өзгеруінің өрнегін табыңыз (бастапқы көлем бірлігіне келетін өзгерістер). Өте кішкентай Aij көмегімен ол текше кеңеюіне дейін азаятынын дәлелдеңіз.№2.33.
Сызықтық (аз) деформация u1=4x1
2+3x3, u2=x1+7x2, u3=
x1+4x2+4x3 қатынасымен берілген. Мұндай деформация үшін бас деформацияны (ұзару)
және деформация девиаторының бас мәні
-ді анықтаңыз.
№2.34.
Деформацияның 450 розеткасында 2.3-суретте көрсетілгендей деформация өлшенген. Р нүктесінде
,
,
мәндері алынған. Осы нүктедегі Е12 жылжу деформациясын анықтаңыз.
2.3 – сурет.
№2.35.
Келесі жазық деформация үшін Мор дөңгелектерін салыныз
және жылжудың максимальды деформациясын анықтаңыз. Нәтижені аналитикалық жолмен тексерініз.
№2.36.
Тұтас ортаның деформацияланған күйі
тензорымен берілген. Үйлесімділік теңдеуі орындала ма?
№2.37.
(1.37) анықтаманы пайдаланып, (1.40) ақырғы деформациялардың лагранж тензорының индекстік формасын анықтаңыз.
№2.38.
,
,
орын ауыстыру өрісі берілген. Егер А, В, С түрақтылары өте аз шама болса, онда бұл орын ауыстыру абсолютті қатты дененің бұрылуына сәйкес келетінің дәлелде.қатты дененің шексіз аз бұрылуы үшін бұрылу векторы
-ны табыныз.
№2.39.
Абсолют қатты дененің бұрылуы
,
,
орын ауыстыру қрісі арқылы берілген. Q(3, 0.1, 4) нүктесінің Р(3, 0, 4) нүктесіне қатысты орын ауыстыруын анықтаңыз.
№2.40.
Егер штрихті және штрихсіз осьтер 2.4-суретте көрсетілгендей орналасса, онда х2х3- параллель жазықтықтарда жүретін жазық деформация үшін салыстырмалы ұзару
және жылжу деформациясы
-тің өрнегін табыныз.
2.4 – сурет.
№2.41.
Біртекті деформация үшін аз деформациялар тензоры берілген:
.
2.5 – сурет.
Егер ОА=ОВ=ОС және D нүктесі АВ қабырғасының ортасы болса, онда ОАВС (1.5-сурет) элементар тетраэдрдің АDС тікбұрышының өзгеруін анықтаңыз
№2.42.
Бірқатар нүктедегі деформация тензоры келесі түрде болсын:
,
яғни бас осьтерде
.
Осы тензорлардың әрқайсысының инварианттарын анықтаныз және олардың бірдей екенің дәлелде
.№2.43.
х1=Х1+АХ3, х2=Х2-АХ3, х3=Х3-АХ3+АХ2 түріндегі орын ауыстыру өрісі үшін ақырғы деформациялар тензоры
-ді анықтаңыз. Егер А тұрақтысы өте аз шама болса, онда орын ауыстыру абсолют қатты дененің бұрылуын сипаттайтының дәлелде.
№2.44.
u1=Ax1+3x2, u2=3x1-Bx2, u3=5 орын ауыстыру өрісі жазық деформация күйін сипаттайтының дәлелде. Деформация изохоралық (көлемдік ұлғаю жоқ болатын) болатындай етіп А және В арасындағы байланысты табыныз.№2.45.
Бойлық беттік деформацияны өлшеу үшін қолданылатын дельта-розеткасы тең қабырғалы үш бұрыш формасында болады және 2.6-суретте көрсетілген бағыттарда
салыстырмалы ұзаруды өлшейді. Айталық,
болсын. Осы нүктедегі
және
мәндерін анықтаңыз.
2.6 – сурет.
№2.46.
Ақырғы деформация кезіндегі Х2 және Х3 координаттық бағыттар арасындағы бұрыштың өзгеруін өрнектейтің (1.72) формуланы қорытып шығар. Егер орын ауыстыру градиенттері аз шама болса, онда бұл формула (1.65) формуласына келтірілетінің дәлелде.№2.47.
Жай жылжу кезіндегі, х1=Х1, х2=Х2,
түрінде болатын орын ауыстыру үшін, салыстырмалы ұзаруы 0 болатын, Х2Х3 жазықтығындағы сызықтық элементтің бағытын анықтаңыз.
3 тарауды пысықтауға арналған есептер
№3.1.
Изотропты гук ортасы үшін деформация энергиясының тығыздығы
-ны деформация тензоры арқылы
түрінде, ал кернеу тензоры арқылы
түрінде жазуға болатының дәлелде.
№3.2.
Кернеу және деформация тензорларының әрқайсысын шарлық бөлікке және девиаторға жіктеу арқылы деформация энергиясының тығыздығы-ны энергия ұлғаюының тығыздығы
және энегрия тығыздығы формасының бұрмалануы
қосындысы түрінде өрнекте.
№3.3.
кернеу тензоры бар жан-жақты бірқалыпты сығу күйі бар болсын. Көлемдік сығылу модулі (қысымның көлемнің өзгеруіне қатынасы) үшін (3.25) формуланы алу жолын қорытып шығар.
№3.4.
3.2-есептегі және
шамаларын техникалық тұрақтылар K және G және деформация компоненттері арқылы өрнекте.
№3.5.
Жалпы жағдайда-ны
квадраттық формада беруге болады. Мұндағы
коэффициенттері симметриялы болу міндетті емес. Бұл өрнекті (3.14) түрінде жазуға болатының және
екендігін дәлелде.
№3.6.
Ортотропты серпімді орта (үш ортогональ серпімді симметриялы жазықтығы бар) үшін серпімді тұрақтылар матрицасы (3.19) түрінде болатының дәлелде.№3.7.
Ортотропты материальдың (3.19) серпімді тұрақтылар матрицасын, изотропты ортаның (3.20) матрицасына келтіру жолын ашып жаз.№3.8.
(3.22) теңдігін алу үшін (3.21) Гук заңың түрлендіру жолын көрсетініз.№3.9.
және
тезникаларын тұрақтыларын Ламе тұрақтылары
және
арқылы өрнекте.
№3.10.
Серпімді симметрия осінің реті N=4 болатын ортаның серпімді тұрақтылар матрицасын жаз. Мұнда
деп есептейміз.
№3.11.
(3.31) Навье теңдеуін қорытып шығарыныз.№3.12.
Егер
болса, онда орын ауыстыру компоненттері
(3.31) Навье теңдеуінің шешімі болатының дәлелде. Мұнда массалық күштер нөлге тең.
№3.13.
Массалық күштер жоқ болғанда
функциясы (3.35) қозғалыс теңдеуін қанағаттандыратының дәлелде. Мұндағы
және
функцияларының әрқайсысы үш өлшемді толқын теңдеуін қанағаттандырады.
№3.14.
3.13-есептегі толқын теңдеуінің
, мұндағы
, шешімі
түрінде болатының дәлелде. Мұндағы
және
– өз аргументтерінің кз-келген функциясы, ал
.
№3.15.
(3.33) Бельтрами-Митчелл теңдеуін қорытып шығар және потенциальдық массалық күштер жағдайында, яғни
болғандағы оның форомасын көрсет.
№3.16.
жазықтығына паралелль, жазық кернеу үшін
және
коэффициенттерін пайдаланып кернеу мен деформация арасындағы байланысты өрнекте. Бұл формула(3.41) формулаға ұқсас екенің дәлелде.
№3.17.
жазықтығына паралелль жазық деформация үшін
және
коэффициенттерін пайдаланып кернеу мен деформация арасындағы қатынасты жаз. Бұл формулалар (3.48) формулаға ұқсас екенің дәлелде.
№3.18.
(3.45) түріндегі жазық кернеулік күй үшін жазылған Навье теңдеулерін қорытып шығар және егер ондағы
-ны
– ға ауыстырсақ, ол (3.51) жазық деформация теңдеулеріне эквивалент екенің дәлелде.
№3.19.
функциясы Эридің кернеу функциясы болатындай А және В тұрақтыларының арасындағы байланысты тап.
№3.20.
функциясын Эри кернеу ыункциясының орнына қолдануға болатының дәлелде.
облысында кернеу компоненттерін тап.
№3.21.
3.16-есепте массалық күштер болмаған кезде
функциясы тепе-теңдік теңдеуін қанағаттандыратындығы дәлелденген. Бұл жағдайда
функциясы Эри кернеу функциясы болатының дәлелде. Сонымен қатар
екенің көрсет.
№3.22.
Айналу моменті М әсерінде тұрған, радиусы а болатын диск туралы есепті шешу кезінде полярлық координатада
-гі
түріндегі Эри кернеу функциясы қолданылады(Сурет). Кернеу компоненттерін және
тұрақтысының шамасын анықтаңыз.
№3.23.
(3.69) формуланы түрлендіру арқылы (3.70) термосерпімділіктің анықтауыш теңдеуін алу керек.№3.24.
бос энергия функциясын пайдаланып термосерпімділік үшін (3.73) энергия теңдеуін қорытып шығар.
№3.25.
(3.13) және (3.70) қатынастарды пайдаланып, термосерпімді орта үшін деформация энергиясының тығыздығын табыныз.№3.26.
Сызықтық серпімді материалдың энергия тығыздығы формасының сығылуы
-ны кернеудің бас мәндері арқылы
түрінде өрнектеуге болатының дәлелде.
№3.27.
3.1-есептің нәтижелерін пайдаланып серпімді материал үшін
және
теңдіктерін дәлелде.
№3.28.
Деформация энергиясының тығыздығы
-ны, деформация инварианттарының функциясы түрінде өрнекте.
№3.29.
Ұзындығы L және дөңгелек қимасы а болатын цилиндрлік вал шетжақтық киманың ішінде қос күш әсерінде болсын. Бұл жағдайда келесі кернеу компоненттері нөлден ерекше болады:
,
, мұндағы
- валдың ұзындық бірлігіне келетін бұрылу бұрышы (
осі валдың осмен бағыттас). Валдың деформация энергиясының тығыздығының және деформацияның толық энергиясының өрнегін табыныз.
№3.30.
Серпімді симметрия осінің реті N=2 болатын ортаның серпімділік қасиеттері (Гук заңы мен деформация энергиясының тығыздығы) және бір серпімді симметрия жазықтығы бар орта екеуі бірдей екенің дәлелде.№3.31.
және
болатын (3.19) матрицасын,
осінің маңайында кез-келген
бұрышына бұру арқылы (3.20) түріне келтіруге болатындығын дәлелде (3.1-сурет).
3.1 – сурет.
№3.32.
Гук заңына бағынатын серпімді дене массалық күштер
және беттік күштер
-дің әсерінен тепе-теңдік күйде тұр. Деформацияның толық энергиясы
орын ауыстыру кезіндегі ішкі жұмыстың жартысына тең екенің дәлелде.
№3.33.
және
түріндегі екі шешім бар деп жорамалдап және 6.32-есептің шешімін қолданып, серпімділік теориясының статикалық есебінің шешімінің жалғыздығын дәлелденіз.
№3.34.
Сығылмаушылық кезінде (
) анықталмаған болып қалатын (3.31) Навье теңдеуін
түрінде де жащуға болады. Мұндай жағдай үшін тепе-теңдік теңдеуін пайдаланып,
теңдігін дәлелде.
4 тарауды пысықтауға арналған есептер
№4.1. (4.1)
және (4.2) анықтамаларды қолдана отырып, логарифмдік және техникалық деформация арасындағы байланысты алу керек. Бұл шамалардың өсулері қалай байланысты.№4.2.
Үлгіні бір өлшемді сынау кезінде P жүктемесінде ақиқат кернеу
-ке тең, ал техникалық кернеу
ретінде қабылданады, мұнда A0 - бастапқы көлденең қиманың ауданы, F - оның ағымдағы мәні. Иілімділік деформация кезінде көлемі өзгермейтіндей, максималды жүктеме шартын табыңыз (A0L0=AL).
№
4.3. Lode параметрі
аралық негізгі кернеудің иілімділік күйге әсерінің өлшемі ретінде жиі қолданылады. Lode параметрін
түрдегі кернеу девиаторының негізгі мәндері арқылы көрсетуге болатынын дәлелдеу керек.
№4.4.
Кернеулік күй үшін|
|
|
|
4.11 – сурет |
4.12 – сурет |
,
,
,
,
жіңішке қабырғалы құбырды созылу – бұралуға сынаған кезде пайда болады, егер шектік ағымдық қарапайым созылу кезінде
тең болған кезде, Треск және Мизес қағидаларына сәйкес
жазықтығындағы қисық ағымдарды алу керек.
№4.5.
Мизестің (4.10) иілімділік шартын (4.11) түрге түрлендірейік, яғни оны бас кернеулер арқылы жазыңыз.№4.
6. OXYZ ортогональды координат жүйесі XY жазықтығы П-жазықтығымен сәйкес келетін болсын, ал
өсі, а ось YOZ жатыр делік (4.13 және 4.4 суреттерді қара). Мизес ағымының беті П-жазықтығын қиып өтетінін дәлелдеу керек (4.5,б-сурет).
4.13 – сурет
№4.
7. №4.6 есептің координаттарының түрленуі қолданылады, (4.14) теңдеуі
П-жазықтық болып табылатынын дәлелдеу керек.
№4.
8. Екіөсті кернеулік күй үшін,
болғанда, Мизес және Треск ағымының бетін анықтау керек және
жазықтығындағы диаграмманы қолдана отырып салыстыру керек.
№
4.9. 4.3 тақырыбында Мизес қағидасының пішіннің бұрмалану энергиясының теориясы аталады. Егер пішіннің бұрмалану энергиясын ағымы ағымдығы
тең
көлем бірлігіне қойғанда, нәтижесінде (4.12) түрдегі Мизес қағидасы алынатынын дәлелдеу керек.
№4.10
. Прандтля - Рейсс (4.21) теңдеуінде, иілімділік деформацияның тензорларының басты өстері кернеудің басты өстерімен сәйкес келетіні туралы тұжырымдама бар екенін дәлелдеу керек. Бұл теңдеулерді басты кернеулер арқылы қалай жазуға болады?№4.11.
Жазық иілімділік деформация кезінде,
және
болғанда, (4.19) Леви-Мизес теңдеуі Треск және Мизес ағымдығы қағидаларының сәйкестігіне әкелетінін дәлелдеу керек (R таза ығысуда ағымдық шегі арқылы жазылған).
№4.12. Прандтля –
Рейсс теңдеуінен
Лоде параметрі және шамасының теңдігі шығатынын дәлелдеу керек (4.3 есепті қараңыз).
№
4.13. Кернеу девиторының 2-ші инварианты үшін
екенін дәлелдеу керек.
№4.14.
иілімділік потенциал
түрде болсын, (4.22) қатынасы иілімділік потенциал үшін Прандтля- Рейсс теңдеуіне айналатынын дәлелдеу керек.
№4.15
. (4.24) өрнегін ашып жазайық және
эквивалентті кернеуді (4.23) түрде жазуға болатынын дәлелдеу керек.
№
4.16. иілімділік потенциал теориясында иілімділік деформацияның өсу векторы кез келген тұрақты нүктеде жүктеме (ағымдық) бетіне перпендикуляр болады, егер Мизес қағидасы орындалса, онда келесі теңдеулер орындалатынын дәлелдеңдер.№4.17. Пластикалық деформациялардың өсу қатынастарын табыңыз:
№
4.18.
иілімділік деформациядағы жұмыстың өсуін және
эквивалентті иілімділік деформацияның өсуін екі осьті кернеу күйі үшін табыңыз
№4.19.
Прандтл-Рейсс материалы үшін иілімділік деформациялардағы жұмыстың өсуі тең екенін дәлелдей отырып, арақатынастың дұрыстығын тексеріңіз (4.32)№4.20. Мизестің
ағымдық қағидасын қанағаттандыратын материал үшін (4.34) және (4.36) қатаю заңдарындағы ағымдық функциясы ретінде
эквивалентті кернеуді алуға болады.
теңдігі орындалатынын дәлелдеу керек, мұнда
және
- олардың аргументтері бойынша функциялардың қатаюын сипаттайтын туындылар.
№4.21.
Хенкидің иілімділік деформациялық теориясының негізі келесі қатынастардан тұрады:
, оның үстіне
және
. Бұл теңдіктердің (4.37) және (4.38) формулаларына эквивалент екенін дәлелдеңдер.
№4.22.
Генки
параметрін (4.39) формуламен көрсетуге болатынын тексеріңіз.
№4.23.
Серпімді-идеалды-иілгіш материалдан жасалған тікбұрышты арқалық таза жүктемеден таза иіледі.
4.15 – сурет
Арқалықтардың элементар теориясын пайдаланып, 4.15-суретте көрсетілгендей, арқалықтың серпімді өзегі – а-дан а-ға дейін созылатын арқалық
шетінде әсер ететін иілу моментінің M шамасын табыңыз.№4.24.
№4.23-есептегідей жүктемеге әсер еткен бөлікті сызықты нығайтылған материалдан жасалған арқалықтың иілу моментін табыңыз (ағымдық шектеуінде
).
№4.25.
Серпімді-идеалды-иілгіш материалдан жасалған радиустың дөңгелек білігі суретте көрсетілгендей ұштарында бір сәтке бұралған. 4.17-суретте білік ішінде радиусы
серпімді өзек қалатын бұралу моменттің шамасын табыңыз.
4.1
6-сурет. 4.17-сурет№
4.26. Өлшемдері 4.18-суретте көрсетілген қалың сфералық қабық
өсу қысымының әсерінен болады.
4.18 – сурет
Мизес қағидасын пайдаланып, иілімділік күй алғаш пайда болған қысымды табыңыз.
№
4.27.
шарт қабылданған жағдайда (4.45) формула кернеу тензорының (4.41) негізгі мәндерін нақты беретінін тексеріңіз (формула (4.44)).
№4.28.
Таза ығысу кезінде
ағымдық шегінің тұрақтылық шартын пайдаланып, (4.47) өрнектерді тепе-теңдік теңдеулеріне енгізіңіз және интегралданғаннан кейін (4.48) қатынастарының дұрыстығын дәлелдеңіз.
№4.29.
Квадрат матрица арқылы үйкеліссіз сызумен штамптау кезінде көлденең қиманың елу пайызға қысқаруына әкелетін сырғанау сызықтар радиалды түзу сызықтардан -
- және шеңбердің доғаларынан -
- сызықтардан тұратын сорғыш тәрізді аумақты толтырады (4.19-сурет).
4.19-сурет
және
полярлық координаталар арқылы өрнектелген осы сырғанау сызықтары бойынша жылдамдық құраушыларын табыңыз.
Аралас есептер
№4.30.
Мизестің иілімділік шартын октаэдрлік ығысу кернеуі
(№4.22 есепті қараңыз) бойынша келесі түрде жазуға болатынын дәлелдеңіз:
.
№4.31.
Мизес қағидасын өрнектейтін (4.13) теңдеуін,
түрде жазуға болатынын дәлелдеу керек.
№4.32.
(
-Лоде
№4.33.
Кернеулік күй үшін
,
мұнда
және
– тұрақтылар, Треска және Мизес қағидаларына сәйкес иілімділік шарттарды табыңыз.
№4.34. Прандтль-Рейс теңдеулері орындалса, иілімділік деформация кезінде материалдың сығылмау шарты да орындалатынын дәлелдеңдер. Осы теңдеулерді лездік кернеулер арқылы жазыңыз.
№4.35. Мизес қағидасын пайдаланып,
– жазықтықта ағымдық қисығындағы кернеу девиаторының құрамдас бөліктері тең екенін дәлелдеңдер
,
,
,
мұнда
(
және
анықтамасы №4.6 есепте берілген).
№4.36.
Серпімді-идеалды-иілгіш сығылмайтын материал екі қатты пластина арасындағы жазық деформация арқылы жүктелген, сондықтан
және
(4.20-сурет).
4.20 – сурет
Мизес қағидасын қолдана отырып, иілімділік пайда болған кездегі
кернеу мен
сәйкес деформацияны анықтау керек.
4.37. Серпімді-идеалды-иілгіш материалдан жасалған тікбұрышты арқалық жүктелгенде таза иіледі (4.21
-сурет).
4.21
-суретЖүктеме бүкіл арқалық материалы толығымен иілімділік күйге өтетін момент мәніне дейін артады.
иілу моментін алып тастағаннан кейін арқалықтағы қалдық кернеуді табыңыз.
№4.3
8. Қалың қабырғалы цилиндрлік құбыр, оның өлшемдері 4.22 суретте көрсетілген, ішкі қысымның әсерінен
; құбырдың шеттері жабылған. Ағымдық шегіне бірінші жеткен
мәнді табыңыз. Ағымдық қағидаларын қабылдаңыз:
а)
Мизес, б) Треск.
|
4.2 2 – сурет |
4.2 3 – сурет |
5 тарауды пысықтауға арналған есептер
№5.6 Кельвин және Максвелл модельдерінде (5.17) және (5.21) теңдеулерін тура интегралдау арқылы
жылжымалық сипаттамаларға арналған өрнектерді табыңыз.№5.7. Стандартты сызықты қатты дене үшін жылжымалы деформацияны табыңыз (5.3,а-сурет, 97 бет).
№5.8. Кері
жылжымалы тәжірибе жылжымалық эксперименттегідей жүктеуден тұрады;
біраз уақыт сақталады, содан кейін дереу жойылады. 5.15-суретте көрсетілген жүктеме заңы бойынша стандартты қатты дененің (5.3, а-сурет) кері жылжымалы деформация қисығын табыңыз.
5.15 – сурет
№
5.9 5.16-суретте көрсетілген модель 5.17-суретте көрсетілгендей тұрақты жылдамдықпен
созылған. Көрсетілген деформация процесі кезінде мұндай модельдегі кернеуді табыңыз.
|
|
|
|
5.16 – сурет |
5.17 – сурет |
№5.10. Егер деформация
заңмен берілген болса6 онда тікелей интегралдау арқылы кернеуді бәсеңдеу процесіндегі стандартты сызықты қатты дене үшін кернеу мен деформацияны байланыстыратын заңды табыңыз.
№5.11.
5.18-суретте көрсетілген үш параметрлі модель үшін бәсеңдеу функциясын
табыңыз.
5.18 – сурет
№5.12
. 5.11-есепте ұсынылған модель үшін
бәсеңдеу функциясын пайдаланып, (5.40) формуласын қолданып жылжымалы функцияны табыңыз.
5.13. Кельвин материалына
кернеу түсірілген, ол уақыт бойынша сызықты түрде өседі, содан кейін ұзақ уақыт бойы тұрақты болып қалады (5.19-сурет).
деп алып, оның әсерінен болатын деформацияны есептеңіз.
5.19 – сурет
№5.14. Кельвин моделі үшін жылжымалы интегралды (5.34) және жылжу функциясын пайдаланып, №5.13 есебінің нәтижесін тексеріңіз.
№5.15. Суперпозиция принципін пайдаланып, 5.20-суретте көрсетілген жүктеме заңына Кельвин материалының реакциясын табыңыз.
|
|
|
|
5.20 – сурет |
5.21 – сурет |
№5.16.
Максвелл моделі үшін кешенді
модулін және
кідіріс бұрышын табыңыз (5.2 сурет).
№5.17.
№5.16 есептің нәтижесін (5.5) теңдеудегі
операторды
-ке жай ғана ауыстыру арқылы
- анықтамадан тікелей алуға болатынын көрсетіңіз.
№5.18
. Жалпыланған Максвелл моделі үшін (5.10) теңдеуінің нақты мысалын пайдалана отырып, модельдер параллель қосылғанда олардың комплексті модульдері қосылатыны туралы ереженің дұрыстығын көрсетіңіз.№5.19.
Үнемделу модулі мен үнемделу иілгіштігі арасындағы байланысты
тексеріңіз.
№5.20.
Циклдік жүктеме үшін (5.10-сурет) бір цикл бойынша интегралды
есептеу арқылы бір цикл үшін энергияның шығыны жоғалту сәйкестігіне
тура пропорционал екенін көрсетіңіз.
№5.21.
(5.48а) және (5.48,б) қатынастарын біріктіру арқылы,
анықтайтын теңдеу алу керек және {R} мен {S} операторларының түрін табу керек.
№5.22.
Кельвин материалынан жасалған cырық бір осьтік созылу күйінде, сондықтан
,
және
тұрақты болады. Осы жүктеме кезінде
деформацияны табыңыз.
№5.23.
Келвин материалын формасы қатты қабырғалармен толтырады, сондықтан кернеу
заңына сәйкес қолданылғанда
; 5.22-суретті қараңыз. Қабырғалардың болуына байланысты пайда болатын
және
кернеу құраушыларын табыңыз.
№5.24. Координаталар басындағы Р шоғырланған жүктеменің әсерінен серпімді жартылай кеңістіктегі кернеудің радиалды құраушысы (5.23-сурет) формуламен өрнектеледі
,
мұнда
және
- белгілі функциялар. Жүктеме заңы P=P0[U(t)] функциясымен берілсін. Сәйкестік принципін пайдаланып, тұтқыр серпімді Кельвин материалының жарты кеңістігіндегі кернеудің радиалды құраушысын табыңыз.
|
|
|
|
5.22 – сурет |
5.23 – сурет |
№5.25
Сәйкестік принципін тек кернеулерді ғана емес, сонымен қатар жылжуларды да алуға болады. №5.24 есепте қарастырылған серпімді жартылай кеңістіктің бетінің жылжуы. z осінің бағыты бойынша
формуламен берілген. Тұтқыр серпімді материалдан жасалған жартылай кеңістік бетінің аталған есеп шарты бойынша жылжуын табыңыз.
№5.26. Біркелкі жүктелген жай тірек арқалық Максвелл материалынан жасалған деп есептеледі (5.24-сурет).
Жүктеме
деп берілген болса, иілу кернеуін
және майсыуды
табыңыз.
5.24 – сурет
5.27. Егер материал сығылмайтын
деп есептелсе, онда
-де
№5.23-есепте табылған кернеу
-ке ұмтылатынын көрсетіңіз (орта сұйық деп ескеріңіз).
1 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық
№1.
1. Бізге
теңдігін дәлелдеу керек. (1.12) формула бойынша
, ал (1.22) формула бойынша
. Онда
.
№1.
2. (1.12) формула бойынша
. Көбейтуді (1.13) матрицалық түрінде орындаған жөн:
.
Сонымен,
.
№1.
3.а)
б)
в)
және
.
№1.
4. Айталық, S – есептің берілгеніндегі қосынды болсын. Онда
, ал (1.7)-ден
- инвариант екені шығады.
№1.
5. Берілген кернеу тензоры және нормаль векторы үшін
шамасы нөлге тең болу керек. Яғни,
.
Осыдан
Бұл жүйені шешсек, онда
.
Сонымен шешім тензор түрінде беріледі:
.
№1.
6. ABC жазықтығы 3x1+6x2+2x3=12 теңдеуімен анықталады, ал бірлік нормаль вектор (1.2-есепті қараңыз)
. (1.14) формула бойынша
Яғни
.
№1.
7. Р нүктесіндегі кернеу компоненттері
.
Р нүктесіндегі нормальдың бірлік векторы
арқылы табылады. Сонымен,
және Р нүктесіндегі
. Онда Р нүктесіндегі нормальдың бірлік векторы
(бұны 1.2-суреттен оңай көруге болады) түрінде болады. Ақырында Р нүктесінде
векторына перпендикуляр аудандағы кернеу векторы келесі түрде болады:
немесе
.
№1.
8. (1.24) теңдеуге, 1.7-есепте табылған кернеу тензорының
мәндерін қойсақ:
Бұл теңдеулер
болғанда қанағаттандырылады.
№1.
9. Есепті шешуді (1.19) теңдеуден бастайық:
.
-ді бас бағыт бойынша интегралға қойып, оны (1.15) формула бойынша көлемдік интегралға түрлендірсек, онда
.
Соңғы интегралда көлем бойынша дифференциалдауды орындап, оған (1.19)-дағы көлем бойынша интегралдауды қоссақ, онда
.
Бірақ,
тепе-теңдік теңдеуінен және
болғандықтан, көлем бойынша интеграл (1.20) түріне келтіріледі:
.
№1.
10. (1.27) формула
немесе
түріндегі кернеуді түрлендіру заңын береді. Есептеуді (1.29) формулаға сәйкес
матрицаларды көбейту түрінде жүргізген қолайлы. Сонымен,
№1.
11.
- нөлдік тензор болғандықтан, кез-келген координата осьтерінің жүйесі (штрихті және штрихсіз) жүйеде ол бірдей болады:
, бірақ (1.19) формула бойынша
. Сондықтан
, мұндағы соңғы мүшеде жаңа қосындылау индекстері қолданылған. Сонымен,
, ал штрихсіз осьтер кез-келген болғандықтан
.
№1.
12. Алдымен түрлендіру матрицасын анықтау керек.
осі xi осьтерімен бірдей бұрыш жасайды. Сондықтан түрлендіру матрицасының бірінші жол элементтері және а33 белгілі:
|
|
x 2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Қалған элементтерді
ортогональдық шартынан табамыз. Онда
Сонымен
,
Бас кернеулері бірдей болатын кернеулік күй үшін Мор дөңгелектерін қарастырсақ, онда алынған нәтижеге таң қалуға болмайды
.№1.
13. (1.32)-ге сәйкес кернеу бетінің теңдеуі келесі түрде болады:
. Матрицалық форманы қолданып келесі кернеу беттерін табамыз.
а)
.
Бұл
сфераның теңдеуі. Яғни жан-жақты бірқалыпты созу сфера болады.
б)
Бір осьтік созылудың кернеу беті, кернеу әсер ететін сызыққа перпендикуляр екі жазықтық болады.
в)
Қарапайым жылжудың кернеу беті
осіне паралелль гиперболалық цилиндр болады.
г)
.
Жазық кернеулік күйдің кернеу беті, жасаушысы нөлдік кернеу осіне паралель және бағыттаушысы екінші ретті қисық түрінде болатын цилиндрлік бет болады.
№1.
14. Алдыңғы есептегідей кернеу бетінің теңдеуі келесі түрде болады:
.
Бұл
түріндегі эллипсоид теңдеуі.
№1.
15. (1.37) бойынша бас кернеу
келесі теңдеуден табылады:
немесе ашып жазсақ
. Бұл теңдеудің түбірлері бас кернеулер болады. Яғни
. Айталық,
осі
бас кернеу осіне сәйкес келсін және
осы осьтің бағыттаушы косинусы болсын. Онда (1.42) бойынша
О
сыдан
=0,
ал
болғандықтан
болады. Сонықтан
,
,
.
Айталық тура осылай
осі
бас кернеу осіне сәйкес келсін. Онда
Осыдан
Айталық,
-ке
сәйкес келсін. Онда
Осыдан
№1.
16. (1.29) бойынша
,
яғни,
№1.
17. (1.37) формула бойынша
немесе
Осыдан
үшін (1.42) формуладан келесі жүйе шығады:
осыдан
үшін (1.42) фомуладан келесі жүйе шығады:
Соңғы жүйе,
теңдеуімен бірге бірінші және екінші бас осьтерді бірмәнді анықтау үшін жеткіліксіз. сондықтан
бағыттаушысына перпендикуляр кез-келген өзара перпендикуляр екі осьтер бас осьтер бола алады. Мысалы, 1.12-есептегі түрлендіру матрицасы арқылы анықталған осьтерді қарастырайық
(1.29)
түрлендіру заңы бойынша бас кернеулер матрицасы
келесі түрде болады:
№1.
18. Екі жүйе осьтерін қосатын түрлендіру матрицасы
-дің кейбір элементтері белгілі:
бұны суреттен де көруге болады. Ал қалған 4 элементті
ортогональдық шартынан анықтаймыз:
Алдыңғы есептегідей, бас кернеулер матрицасы келесі түрде болады
№1.
19. (1.27)бас кернеулерді түрлендіру ережесі бойынша
, бірақ
- бас кернеу болғандықтан, оң жағында
болғандағы үш мүшесі ғаға қалады. Онда оны
түрінде жазуға болады.
№1.
20. Тензор компоненттерін түрлендірудің (1.27) ережесі бойынша
№1.
21. (1.39) формула бойынша
Ал (1.40) формула бойынша
(1.41) формула бойынша
тензорының бас кернеулері
. Бас кернеулер арқылы анықталған инварианттар келесі түрде болады:
,
,
.
№1.
22. Бас осьтегі октаэдрлік ауданшадағы нормаль
өрнегі арқылы анықталады. Онда (1.12) формула бойынша, ауданшадағы кернеу векторы
,
а
л оның нормальды компонентті
.
Онда жанама компоненті
№1.
23. (1.38) формула бойынша бас кернеулер
. Ал (1.54) формуладан максимальды жанама кернеуді келесі түрде анықтаймыз:
.
бас осьтер
максимальды жанама кернеу осьтерімен төмендегі түрлендіру кестесімен байланысқан және олардың орналасуы суретте көрсетілген:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
- |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
- |
0 |
|
Штрихті осьтегі кернеу тензоры келесі түрде болады:
Қабырғалары координата осьтеріне перпендикуляр, элементар кубқа әсер ететін кернеуді көрсету арқылы бұл нәтижені қосымша түсіндіруге болады (1.2-сурет).
1.1 – сурет. 1.2 – сурет.
№1.
27. Анықтама бойынша
, онда
,
мұндағы
,
№1.
28. Келесі түрдегі жіктеу бар болады:
мұндағы соңғы екі тензор №1.26-есебінің «а» және «б» жағдайлары бойынша қарапайым жылжу күйіне тең. Сонымен қоса
болғандықтан
.
№1.
29.
тензоры үшін кернеу девиаторы келесі түрде болады:
ал оның бас мәңін
анықтаушын нөлге теңестіру арқылы анықтауға болады. Осыдан
Егер алдымен
тензорының бас мәңдерін анықтап, одан кейін (1.71) формуласын пайдалансақ, онда жоғарыдағы нәтиже шығады.
тензорының бас мәндері
тең. Осыдан
екені шығады.
№1.
30. Келесі анықтауышты нөлге теңестіру арқылы кернеу девиаторының бас мәндері арқылы жазылған кернеу девиаторының сипаттамалық теңдеуін аламыз:
Осыдан
(1.72) сәйкес
.
болғандықтан
болады.
№1.
31. (1.27) формула бойынша
№1.
32. (1.33) формула бойынша
және
болғандықтан, бұл екі теңдеудің шешімінен
екенін аламыз. Әрі қарай (1.47) формуладан
Бұл теңдеуге
және
мәндерін қойып, одан кейін оны
-ге қатысты шешсек, онда
түріндегі бағыттауыш косинустарды аламыз. Оқырманға бұл нәтижелерді келесі кернеу тензорына қолдану ұсынылады
.
№1.
33. Айталық,
және
болатын
түріндегі екі жіктелу бар болсын. Онда
болады. Осыдан
екені шығады. Ал
теңдігінен
теңдігі шығады.
№1.
34. Кернеу компоненттері нақты болғанда, кернеу тензорының инварианттары да нақты болады. Онда (1.38)-теңдеудің барлық коэффициенттері де нақты болады. Теория бойынша мұндай теңдеулердің ең болмағанда бір түбірі (бас мәңі) нақты болуы керек. Оны
деп белгілесек және
бағыты
-ке сәйкес келетін,
түріндегі штрихті осьтер жүйесінің жиынтығын қарастырайық. Мұндай осьтердің сипаттамалық теңдеуі келесі түрде болады:
немесе
Квадрат жақшадағы квадраттық форманың дискриминанты оң болғандықтан
қалған түбірлері де нақты болуы керек.
№1.
35. (1.33) формуладан
екені шығады. Сонымен қоса
(1.51)-ге сәйкес
болатын
функциясын құрамыз. Онда
ал бұл бас мәндерді анықтаудың (1.36) теңдеуіне эквивалентті
.№1.
36. 1.58-есептің нәтижесін пайдаланып, кернеу коспоненттерін келесі түрде табамыз
немесе ашып жазсақ
Бұл мәндерді
теңдеуіне қойсақ, онда
№1.
37. Айталық, кернеу беті
теңдеуімен берілсін. Кез-келген нүктедегі оның нормалы
немесе
түрінде анықталады. Сонымен,
Бірақ
болғандықтан, соңғы өрнек
немесе
-ге айналады.
№1.
38. (1.6) және
(1.7) теңдігінен штрихсіз жүйедегі координата ауданшаларындағы кернеу векторы
түрінде анықталады. Бұл кернеу тензорының жолдарына сәйкес келеді. Бұл векторларды (1.12)
қатынасының көмегімен штрихті жүйедегі осьтерге проекциялау арқылы
екенін аламыз. Бірлік базистік векторларды түрлендіргенен кейін бұл теңдік келесі түрде болады:
.
Осыған ұқсас
және
, онда
Екінші жағынан,
(1.27) формула бойынша
№1.
39. №1.22-есептен
екен
і шығады. Бірақ
және т.с.с. Сондықтан
Сонымен қоса,
болғандықтан,
болады немесе
Осыдан
.
№1.
40. а) (1.24) формулаға
компоненттерін тікелей қою арқылы тепе-теңдік теңдеуі қанағаттандырылатының көреміз.
б)
1.2-есеп бойынша
жазықтығының бірлік нормаль векторы
өрнегімен анықталатындығы шығады. Онда (1.12) формула бойынша, бұл ауданшадағы Р нүктесіндегі кернеу векторы келесі түрде анықталады:
Р нүктесіндегі,
сферасының нормалы
өрнегімен анықталады. Мұндағы
. Онда
. Р нүктесіндегі кернеу векторы, (1.14) матрицалық жазылуы бойынша келесі түрде болады:
.
в) (1.37)
формула негізінде,
бас кернеу үшін келесі теңдеуді аламыз:
Осыдан
(1.54б) формуласы бойынша максимальды жанама кернеу шамасы
-ге тең. Р нүктесіндегі орташа нормаль кернеу
тең болғандықтан, кернеу девиаторының бас мәндері де кернеу тензорындағыдай болады.
2 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық
№2.
1. Материальдық формадағы орын ауыстыру компоненталарын (3.13) формуласы бойынша келесі түрде табамыз:
,
,
. Бұны
бойынша шешсек, онда
,
,
, ал кеңістіктік компоненталары
,
,
.
Алынған нәтижеден көрініп тұрғандай
,
теңдеуімен берілген материальдық бөлікшедегі түзу сызық деформациядан кейін
,
орның алады. Ал
,
материальдық түзу деформациядан кейін
,
болады.
№2.
2.а)
және
координаталарын ауыстыру шеңберді,
эллипсімен шектелген облысқа ауыстырады.
болғандағы
эллипс теңдеуі,
бас осьтерінде (
осьтерімен
бұрыш жасайтын)
түріне келеді. 2.10-суретте жылжытылған нүктелердің геометриялық орны көрсетілген.
б) №2.1-есептен куб қабырғаларының орын ауыстыруы еш қиындықсыз табылады.
,
қабырғаларында орын ауыстыру компоненталары
.
,
қабырғасында
,
болады және бөлікшелер, олардың координата басындағы ара қашықтығына пропорционал,
бағытында орын ауыстырады.
,
қабырғасы үшін
,
болады. Кубтың бастапқы және жылжытылған орны 2.11-суретте көрсетілген.
№2.
3. Бөлікшенің бастапқы орнындағы радиус-векторы
. Оның жылжуы
және х=Х+u болғандықтан, соңғы орнындағы радиус-векторы
.
№2.
4. Есептің геометриясы негізінде (2.12-сурет), осьтерді түрлендіру тензоры келесі түрде болады:
,
ал (2.9) формула бойынша
. Декарттық координата мен цилиндрлік координата
,
,
қатынастарымен байланысқандықтан, (3.9) формула келесі теңдіктерді береді:
,
.
Бұл айналдыру кезіндегі дөнгелек стержендегі жылжу.
№2.
5. (2.16) формуладан
.
Ал Эйлерлік жазылуы:
;
;
.
№2.
6. Берілген
орын ауыстыру векторы бойынша J-ді табамыз:
.
x=u+X болғандықтан, орын ауыстыру өрісін келесі түрде жазуға болады:
,
,
. Осыдан F-ті табу қиын емес:
.
Алынған нәтижелерді (2.24) формуласына қойсақ, онда J=F-I екенін көреміз.
№2.
7. (2.13) формулаға сәйкес мұндай орын ауыстырудағы кеңістіктік координаталар мынандай болады:
,
,
. Сонымен А бөлікшесінің жылжығандағы координаты
,
,
, ал В бөлікшесінің координаты
,
,
. А және В нүктелерін жылжығанда қосатын вектор келесі түрде болады:
.
№2.
8. Алдыңғы есептегідей
,
,
. Онда С-ның деформациядан кейінгі радиус-векторы:
. Бұдан екі вектордың деформациядан кейін де паралелл болатының көреміз. Бұл деформацияның біртекті болуына мысал бола алады.
№2.
9. а) (2.13) формуладан
.
Егер
детерминанты нөлге тең болмаса, онда (2.16)-формула бойынша
бар болады. Бұлай деп жорамалдасақ, онда материальды жазықтықтағы
теңдеуі
теңдеуіне ауысады және оны жазықтықтың стандартты теңдеуіне келтіруге болады:
, мұндағы
.
б) Түзуді екі жазықтықтың қиылысуы ретінде қарастыруға болады. Деформацияланған күйде, жоғарыда жазықтық деформациядан кейін де жазықтық болып қалатыны дәлелденген. Онда екі жазықтықтың қиылысу сызығы да тұзу болып қалады.
№2.
10. Айталық,
және
тізбектелген шексіз аз орын ауыстыруды анықтасын. онда
.
-ны жоғарғы ретті аз көбейтінді деп ескемесек, онда
бұл шексіз аз біртекті деформацияны білдіреді:
.
№2.
11. (2.35)-формула бойынша
, ал F матрицалық формада (3.20) формуласы бойынша келесі түрде анықталады:
, сондықтан
.
Осыдан (2.37) бойынша
.
№2.
12. 2.11-есепте анықталған G тензорын пайдаланып, (2.34) формула бойынша матрицалық түрде диагоналының ұзындық квадратын анықтаймыз:
Тура осылай
ОА үшін
және ОВ үшін
.
№2.
13. 2.12-есептің нәтижесінен өзгеруді анықтаймыз:а) ОС
үшін:
;
б) ОВ
үшін:
;
в) ОА үшін:
.
(2.36)-теңдеуден ОС үшін келесіні аламыз:
.
ОА
және ОВ өзгеруін тура осылай анықтаймыз.№2.
14. 2.11-есептің берілгені бойынша орын ауыстыру векторының компоненттері
,
,
болады. Онда
және
.
Онда (2.40)-формула бойынша
,
бұл №2.11-есептің нәтижесімен сәйкес келеді.
№2.
15. (2.42)-формуладан
.
Түрлендіру арқылы орын ауыстыру үшін келесі өрнектерді аламыз:
,
,
.
Бұдан (2.43)-формула бойынша
Егер А тұрақтысы өте аз болса, онда
және одан үлкен дәрежедегі А-ны ескермеуге болады. Онда Е=L болады.
№2.
16. Берілген u үшін J орын ауыстыру градиенті матрицалық формада келесі түрде болады:
,
сондықтан (2.46)-формула бойынша Р нүктесіндегі
бағытындағы орын ауыстыру келесі түрде болады:
.
Әрі қарай тікелей есептеу арқылы u-ды табуға арналған өрнектен келесілерді анықтаймыз:
және
. Онда
. Тура осылай
,
,
. Бұдан
нүктелері Р-ға жақындағанда, екі бөлікшенің салыстырмалы жылжу бағыты du бағытына ұмтылады.
№2.
17. Р-дан Q-ға бағытталған бірлік вектор
, онда 2.16-есептегі J-ді пайдалансақ, онда (2.47)-формула бойынша:
.
№2.
18. Бұл жағдайда орын ауыстыру градиенті
түрінде болады. онда
Р нүктесінде
.
Бұл матрицаны симметриялы және антисимметриялы бөліктерге жіктейік:
,
мұндағы
– сызықтық деформация тензоры,
– сызықтық бұрылу тензоры. Онда
векторының компоненттері келесі түрде анықталады:
,
.
№2.
19. (2.59) формуланы және №2.18-есепте анықталған Р нүктесіндегі деформация тензорын пайдалансақ, онда
бағытындағы Р нүктесінің салыстырмалы ұзаруын матрицалар көбейтіндісі ретінде анықтаймыз:
.
№2.
20.
және
-дің деформациясынан алынған, орын ауыстыру градиенттерін аз деп есептеуімізден, бірлік векторлар бағыты, (2.47) формуласы негізінде,
және
түрінде болады.
-ны
түріндегі эквивалент формасында жазайық және деформациядан алынған векторға скаляр көбейтейік. Сонда
немесе
Мұнда аз градиенттер жағдайында
орын ауыстыруы басқаларға қарағанда аз болады. Сонымен қоса,
. Онда
. Сонымен (2.42)-формуланы пайдалансақ
болады.
№2.
21. Аз деформациялар теориясында L=E болғандықтан Р нүктесінде де
. Онда
.
№2.
22. 2.11-есептегі G матрицасын пайдалансақ, (2.36)-формула бойынша
бағытындағы ұзындық коэффициентінің квадраты:
Дәл осылай
ОС бойындағы
үшін
Орын ауыстыруды анықтайтын қатынастарға сәйкес деформациядан кейінгі
С нүктесінің орны:
Сонымен,
ал
болғандықтан,
ұзындық коэффициентінің квадраты (1+А)2-қа тең болады. Бұл (2.66) формуламен есептелген мәнге тең..
Дәл осылай
бағытында
болады. Онда
№2.
23. 2.22-есептегі қатынасты орын ауыстыру өрісі үшін ауыстырсақ:
Осыдан С Коши деформация тензорын табамыз және (2.67) формуланы пайдалансақ, онда
Сонымен,
бұл ОС үшін есептелген
-ға тең екенін көреміз. Бұл деформация жылжуында ОС диагональ элементі өз бағытын өзгертпейді.
№2.
24. F–тің полярлық жіктелуіндегі тензордың ұзындық коэффициенті
(2.73) формула бойынша R=FS-1. (2.35) бойынша
немесе біздің жағдайымызда
G
тензорының бас осьтері X1 осінің бойында 45о–қа бұрылудан шығады, ал бас осьтегі тензордың өзі
Сондықтан
Xi
координата жүйесінде бұл жіктелу келесі түрде жазылады:
Бұл мысалда
F деформация градиентінің өзі S ұзындық коэффициентінің тензоры болады., ал бұрылу тензоры R=I. Бұл берілген жылжу деформациясы үшін LG және EA тензорларының бас осьтерінің бірдей екендігінің нәтижесі.№2.
25. Берілген орын ауыстыру өрісі үшін
Шамасы жағынан өте аз мүшелерін ескермесек, онда
№2.
26. (2.37) формула бойынша
Бұл тензор
түрлендіру матрицасы бойынша анықталатын бас осьте келесі түрде болады:
Тура осылай,
(2.39) формула бойынша және
матрицасы бойынша түрлендірсек, онда
Бұл есептеулердің дұрыстығын тексеруді студентке қалдырамыз.
№2.
27. (2.37) формула бойынша
берілген коордигнаталарды түрлендіру заңы бойынша
(
№2.
28. Бұл екінші ретті симметриялы декарт тензоры. Сондықтан бас деформациялар
Осыдан
бас бағыттардағы түрлендіру матрицасы келесі түрде болады
№2.
29. (2.82) формуланы пайдаланып немесе берілген формулаларды түрлендіріп, шыққан нәтижені
сфера теңдеуіне қойсақ, онда
түріндегі материалдық эллипсоид теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді
матрицасының көмегімен бас осьтерде
түріндегі канондық түрге келтіреміз.
Деформация теориясының қатынастарынан
деформация тензорын табамыз (есептеу 2.24-есептегіге ұқсас):
Келесі
түрлендіру матрицасы арқылы бұл тензор бас осьтерге келтіріледі (диагональдық формаға):
мұндағы ұзындық коэффициентінің бас мәндері
Бұл ұзындық коэффициентінің бас мәндерін
түрлендіру матрицасын пайдаланып (2.66) формула бойынша табуға болатының ескертеміз.
№2.
30. (2.84) формулаға сәйкес
сферасы келесі деформация эллипсоидының нәтижесінде алынған
немесе
Бұл эллипсоид теңдеуі
түрлендіру матрицасы арқылы (бас осьте)
канондық түріне келтіріледі.
№2.
31. Берілген детерминанттарды есептесек, онда
Екінші жағынан (2.91) формуланы ашып жазсақ:
№2.
32.
бастапқы өлшемді тіктөртбұрышты паралеллпипедті қарастырайық. Берілген деформацияда
(2.33) формулаға сәйкес бұл бастапқы
көлемі
, қабырғалы қисайтылған паралельпипедке ауысады. (1.109) формула негізінде бұл деформацияланған элемент көлемі
Онда
Е
гер
өте аз және оның жоғарғы ретті дәрежелерін ескермесек, онда
№2.
33.
тензоры
орын ауыстыру градиентінің симметриялы бөлігі болғандықтан
Сонымен
, онда деформация девиаторы
№2.
34. (2.59) формуланы пайдаланамыз.
бағытындағы бірлік вектор
екенін ескеріп,
үшін теңдеу құрамыз:
О
сыдан
немесе
№2.
35. xi осінен кесіліп алынған, берілген деформациялық күй үшін
и D нүктелері ішкі дөңгелектердің үлкенінің диаметрлерінің ұшында орналасқан (2.16-сурет) жазық деформация үшін бас кернеу шамасы
сондықтан Мордың басқа дөңгелектері суретте көрсетілгендей орналасады
x
1 осінің бойында 30о (2.17-сурет) бұрышқа бұру арқылы (ол Мор диаграмасындағы 60о бұрышқа тең), деформация тензорын,
бас мәндері бар бас осьтерге келтіреміз:
координата жүйесіне келеміз. Онда деформация тензорының компоненттері
болады және келесі матрица арқылы өрнектеледі:
Мұндағы бастапқы екі жол
F (2.18-сурет) нүктесіндегі деформацияланған күйді сипаттайды.
осінің бойында –45о бұрышқа бұру 3.16-суреттегі Е нүктесіне мәйкес келетіндігін ескертейік
№2.
36. (2.104) үйлесімділік теңдеуіне тікелей қою арқылы, барлық теңдеудің теңбе-тең орындалатының көреміз. Студентке бұл операцияны толық орындауды тапсырамыз.№2.
37. (2.24) формула негізінде
екенін аламыз. Онда (2.37) формуланы пайдалансақ, онда
№2.
38. Берілген орын ауыстыру өрісі үшін
және (2.37) формулаға сәйкес
Егер аз тұрақтылардың көбейтіндісін ескермесек, онда деформацияның бұл тензоры нөлге тең, ал орын ауыстыру абсолютті қатты дененің бұрылуы болады. (2.50) формула бойынша бұрылу векторы
№2.
39. Q және Р нүктелерінің орын ауыстыру өрісі мынандай болады:
және
Осыдан
(2.51) формуласын пайдалансақ та дәл осы нәтижені аламыз:
мұндағы
.
№2.
40. (3.59) формуладан келесі өрнекті аламыз:
Осыған ұқсас, (2.65) формуланы және 2.20-есептің нәтижесін пайдалансақ, онда
№2.
41. D нүктесінен шығатын
және
бірлік векторларын келесі түрде жазуға болады:
және
онда 2.20-есептің нәтижесін пайдалансақ
№2.
42. (2.59) формуланы және 2.31-есептің шешімін қолданып келесі мәндерді анықтаймыз: IE=5+4+4=13, IE*=6+4+3=13.Осыған ұқсас,
IIE=19+19+16=54, IIE*=24+18+12=54.Ақырында,
№2.
43. Есептің берілгенінен
екенін аламыз. Онда (2.40) формула бойынша
Е
гер А аз болса, онда
-ны ескермеуге болады және LG=0. (2.50) формула бойынша бұрылу векторы мынандай болады:
№2.
44. Орын ауыстыру өрісі және (2.43) формула бойынша
екенін табамыз. Ол жазық деформацияның (2.99) формасына сәйкес келеді. (2.96) формулаға сәйкес көлемдік ұлғаю коэффиценті келесі түрде болады:
Егер А=В болса, онда ол нөлге тең.
№2.
45. L=E болғанда,
бағыты үшін (2.59) формула келесі мәндерді береді:
немесе
бағыты үшін келесі мәндерді аламыз:
немесе
Бұл теңдеулер жүйесін, не
, не
-ге қатысты шешсек, онда
және
№2.
46. Айталық,
- бізді қызықтыратын бұрыштың өзгерісі болсын (2.5-сурет). Онда
немесе (2.33) және (2.34) негізінде
Бұл өрнектің алымы мен бөлімін
және
-ке бөлейік. (2.35) және (2.66) ескерсек, онда
Әрі қарай,
(2.37) формула негізінде
болады. Себебі,
(3.68) формулаға сәйкес
және т.с.с.; сондықтан,
Егер
болса, онда бұл теңдік келесі түрге келтіріледі:
№2.
47. Айталық,
нөлдік ұзару бағытындағы нормалдың бірлік векторы борлсын. Онда (2.66) формулада
екенін ескерсек, онда
немесе
Сонымен қатар,
Бұл екі теңдеуді біріктіріп шешсек, онда
немесе
Сонымен, нөлдік ұзарудың элементтері Х3 осінің бойында және Х3 осіне 60о бұрышпен орналасады.
Талапкер бұл қатынасты (2.36) формуласынан шығатын
қатынасын пайдаланып қорытып шығаруды қалдырамыз.
3 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық
№3.
1. (3.13) формулаға (3.21) формуланы қойсақ, онда
немесе символдық формада
. (3.24) формуланы (3.13) формулаға қойсақ, онда
,
немесе символдық формада
.
№3.
2. (3.98) және (3.70) формулаларын (3.13)-ке қойсақ, онда
.
болғандықтан,
өрнегі келесі қосындыға келтіріледі:
.
№3.
3.
кернеу тензоры үшін (3.24) қатынасы келесі түрде болады:
. Осыдан
. Онда
. Осыған ұқсас (3.21) Гук заңынан
екені шығады. Онда
.
№3.
4. 6.3-есепте
екені алынған. Онда
.
Кернеу компоненттерін (3.21) Гук заңы және (2.70) формула бойынша өрнектейік:
. Ал
болғандықтан,
болады. Сонымен,
.
Бұдан энергия ұлғаюының тығыздығы
тек ғана
-ның, ал энергия тығыздық формасының бұрмалануы
жылжу модулі
(немесе
)-дің функциясы болатының көреміз.
№3.
5. Квадраттық форманы келесі түрде түрлендірейік:
мұндағы
. Енді
туындысын есептейміз:
№3.
6. Айталық,
(немесе
) жазықтығы серпімді симметриялы жазықтық болсын (сур.6.1). Онда
және
.
осін
осіне түрлендіру матрицасы келесі түрде болады:
.
(2.27) және (3.78) формулаларынан, егер K=1, 2, 3, 6 болса, онда
, ал K=4, 5 болғанда,
болатындығы шығады. Мысалы,
үшін, келесі теңдікті аламыз:
.
3.1 – сурет.
Бірақ, екінші жағынан
, яғни
.
Бұл екі өрнек
тек ғана C14=C15=0 болғанда ғана орындалады. Тура осылай
Теңдіктерінен
болатындығы шығады.
Егер
(немесе
)жазықтығы екінші серпімді симметрия жазықтығы болса, онда
және
осіне түрлендіру матрицасы келесі түрде болады:
,
онда (2.27) және (3.78) формулаларынан, егер K=1, 2, 3, 4 болса, онда
, ал K=5, 6 болғанда
болатындығы шығады. Осыдан,
екені шығады. Онда серпімді тұрақтылар матрицасы (3.19) түрінде болады. Мұндай матрица жағдайында
(үшінші) жазықтығына қатысты серпімді симметрия бірден шығатындығын тексеру оқушының өзіне ұсынылады.
№3.
7. Изотропты жағдайда ортаның серпімділік қасиеттері барлық декарттық координата жүйесінде бірдей. Дербес жағдайда 6.2-суретте көрсетілгендей бұрылған осьтер үшін (3.6-есептегі әдіс), (3.19) матрицасын келесі қысқартуларға әкеледі:
және
.
|
|
|
|
3.2 – сурет. |
3.3 – сурет. |
Ақырында, х3 осінің маңайында
-қа бұрылған
жүйесі үшін (6.3-сурет) түрлендіру матрицасы келесі түрде болады:
,
сондықтан
және
. Бірақ
, сондықтан
. Енді
және
белгілеулерін еңгізсек, онда (3.20) матрицасын аламыз.
№3.
8. (3.21) теңдігінде
болса, онда
. Осыдан,
немесе
.
№3.
9. (3.25) теңдіктен
, ал (3.26) теңдіктен
. Сонымен,
, осыдан
. Енді қайтадан (3.26) пайдаланып
екенін аламыз.
№3.
10. Айталық, серпімді симметрия осі х3 болсын. Басқа осьтерді х3 осіне қатысты
бұрышына бұру арқылы (6.4-сурет) N=4 болғанда эквивалентті серпімді қасиеттер бағытын аламыз.
6.4-сурет.
Мұндай түрлендіру матрицасы келесі түрде болады:
,
және (2.27) мен (3.78) формулаларынан
,
және
теңдіктерін аламыз.бұл теңдіктер
коэффициенттеріне белгілі бір шарттар қояды. Мысалы,
теңдігінен
болатындығы шығады. Осыған ұқсас қалған бес кернеу теңдіктерін пайдаланып серпімді тұрақтылар матрицасын жазамыз:
(жеті тәуелсіз тұрақтысы болады).
№3.
11. (3.28) формуладағы деформация компоненттерін оған эквивалентті орын ауыстыру компоненттерімен алмастырамыз:
. Сонымен,
. Бұл өрнекті (3.27) тепе-теңдік теңдеуіне қойсақ және ұқсас мүшелерді біріктірсек, онда
болады.
№3.
12. Жобаланған шешімді дифференциалдасақ, онда
және
.
Бұл екі теңдеуді (3.31) теңдеуге қойсақ, онда
.
Бұл теңдеу
болғанда ғана орындалады.
№3.
13.
функциясын (3.35) теңдеуге қойсақ, онда
.
Бірақ
болғандықтан
теңдеуі
және
болғанда ғана орындалады.
№3.
14. Бұл жағдайда
болғандықтан, сфералық координатадағы Лаплас операторын
пайдаланған тиімді. Жобаланған шешімнен туынды алсақ, онда
, мұндағы штрих g және h функцияларының өз аргументтерінің туындысы екенін білдіреді. Тағы бір рет дифференциалдасақ, онда
. Осыған ұқсас
және
. Осыдан
функциясы
теңдеуін қанағаттандыратының көрініп тұр.
№3.
15. (3.24) қатынасты (3.103) деформацияның үйлесімділік теңдеуіне қойсақ, онда
,
мұндағы
. Мұндағы 81 теңдеудің тек алтауы ғана тәуелсіз. m=k деп және (3.27) тепе-теңдік теңдеуін пайдалансақ, онда
.
Осыдан
екенін аламыз.
өрнегін соңғы теңдікке өойсақ, онда бізге қажетті (3.33) формуласын аламыз.
Егер
болса, онда
және
болатындықтан, (3.33) теңдеу келесі түрде болады:
.
№3.
16. Бұл жағдайда
, ал (3.21) формуланы ескерсек, онда
және
. Онда (3.21) Гук заңы келесі түрде жазылады:
, мұндағы
. Осыдан
. Енді
формуласын түрлендіріп келесі өрнекті аламыз:
.
Дербес жағдайда
.
№3.
17. Бұл жағдайда
және
, ал (3.24)-тен
. Енді (3.24) келесі түрде болады:
,
осыдан
. Ең соңында
.
рп
№3.
18. (3.45) теңдеуді ескеріп (3.41)- ді түрлендірсек, онда
.
Бұны
бойынша дифференциалдап, нәтижені (3.40) тепе- теңдік теңдеуіне қойсақ:
Егер
алмастыруын жасасақ, онда (3.45) теңдеуі (3.51) теңдеуіне ұқсас болады.
№3.
19. (3.56) формулаға сәйкес
гормониялық болуы керек, яғни
. Бұдан
.
№3.
20.
болғандықтан
функциясы Эри кернеу функциясы бола алады. Кернеу компоненттерін (3.55) формуласы арқылы есептейміз.
,
,
.
Мұндай кернеулер арқалық ұшында көлденен күш
және тура жүктеме Р әсерін консольді арқалықта пайда болады.
№3.
21.
компоненті ғана 0-ден ерекше болғандықтан
теңдігі
немесе
теңдігіне айналады.
,
теңдіктері негізінде кернеу компоненттері
функциясы арқылы келесі түрде табылады:
,
,
.
№3.
22. Кернеу компоненттерін (3.60) және (3.61) формуласы бойынша есептесек, онда
, ал (3.62) формуласы бойынша
. Диск центріне қатысты моменттер тепе- теңдігі үшін келесі қатынас орындалуы керек.
. Сонымен
.
№3.
23. i=j болғандағы (3.69)-дан
. (3.69) теңдеуі
- ға қатысты шешсек, онда
№3.
24. Бос энергия деформациясы мен температурасының функциясы
болсын деп жорамалдайық. Бұны (5.41) теңдеуіне қойсақ, яғни
, мұндағы нүкте арқылы уақыт бойынша дифференциалдау белгіленген. Онда
. Жақша ішіндегі мүшелер деформациясының өзгеруі жылдмдығынан және уақыттан тәуелсіз болғандықтан, соңғы теңдіктен
және
.
Термосерпімді дене үшін термодинамиканыңекінші заңының теңдеуі
түрінде, яғни
.
Осыдан, дербес жағдайда
болғанда,
, мұндағы
- тұрақты деформациялардағы жылусиымдылық, болады. Жоғарыда алынған f- арқылы өрнектелген, s және
-дің өрнектерін пайдаланып
, яғни
және
екенін аламыз. Сондықтан
.
(3.70) теңдеуде
, болғандықтан,
,
болады. Бұл (3.73) теңдеумен бірдей екенін көреміз.
№3.
25. (3.70) формуланы (3.13) формулаға қою арқылы келесі өрнекті аламыз:
№3.
26. 3.2-есептің нәтижесі бойынша
болғандықтан, оны кернеу компоненттері арқылы келесі түрде жазуға болады:
.
Бас кернеулер бойынша бұл өрнек келесі түрде болады:
№3.
27. 3.1-есепте
болатындығы анықталған. Сондықтан
Осыған ұқсас 3.1-есептегі
теңдігінен келесі теңдікті аламыз
№3.
28. 3.1-есепте болатындығы анықталған. Бірақ (3.91) бойынша
және
. Сондықтан
.
№3.
29. 3.1-есептің нәтижесі бойыншща. Біздің жағдайымызда
және
, мұндағы
. Сондықтан
. Деформацияның толық энергиясы келесі интеграл түрінде табылады:
.
болғандықтан,
болатының, яғни
ішкі моменттер жұмысына тең болатының ескертеміз.
№3.
30. Осьтерді
бұрышына бұру эквивалентті серпімді қасиеттер бағытына экеледі. Бірақ та, серпімді симметрия жазықтығының бейнелеуі арқылы, біз дәл сол жағдайға келеміз.
№3.
31. хі осін
осіне түрлендіру келесі матрица арқылы жүзеге асырылады:
,
ал (2.27) формула бойынша
немесе бір индекстік белгілеу бойынша
.
Дәл осылай, (3.4) формуласын ескере отырып, (3.78) формуласын пайдалансақ, онда
.
Бірақ, изотропты дене үшін
және бұл жағдайда
. Жоғарыда аталған шарттар бойынша (3.19) матрицасының түріне сәйкес
және
, онда
болады. Сонымен
. Онда
,
,
деп алсақ, (3.20) формуланы аламыз.
№3.
32.
екенін дәлелдеу керек. Алдымен беттік интегралды қарастырамыз және онда
алмастыруын жасап, Гаусс-Остраградский теоремасы бойынша түрлендірсек:
.
Бірақ
, ал тепе-теңдік теңдеуінен
екенін аламыз. Сонымен
.
Теорема дәлелденді.
№3.
33. Сызықтық серпімділік теориясында шешімдердің суперпозиция әдісін қолдануға болады, яғни
болғанда
шешім болады. Бұл жана шешім үшін, 6.32 есепте көрсетілгендей
теңдігі орындалады. Бастапқы екі шешім де шекаралық шарттарды қанағаттандыратындықтан сол жақтағы интеграл нөлге тең. Себебі: шекарада (3.32) формулаға сәйкес
және (3.30) формулаға сәйкес
болады. Сонымен,
, бірақ та
- оң анықталған функция болғандықтан бұл тек
немесе
болғанда ғана орындалады. Егер аталған екі шешім бойынша деформация тең болса, онда Гук заңы бойынша кернеу де тең болады. Орын ауыстыру да абсолютті қатты денедегі орын ауыстыру сияқты тең болады. Сонымен шешімнің жалғыздығы дәлелденді.
№3.
34. (3.24) теңдеуден
болатының аламыз. Ал
болғанда бұл
теңдігін береді. Сонымен (3.24) қатынас келесі түрде болады:
.
Бірақ,
болғанда,
және
болады. Сондықтан
немесе
.
4 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық
№4.1.
(4.1)-ге сәйкес,
; онда (4.2) теңдігі
береді. Бұл теңдікті дифференциалдап,
табамыз, соның салдарынан
шығады.
№4.2. Біздің жағдайда
және күштің көп түскен жері S-ші диаграммада оның көлбеуі нөлге тең жерде тұр
. Дифференциалдағаннан соң
болады. Бұл теңдеу нөлге тең болады, егер
болса. №4.1. есептің нәтижелерін қолданып, соңғы шартты
түрде жазуға болады.
№4.3
(2.71)-ге сәйкес,
және т.с.с., сонымен қатар
тең. Сонда
Бірақ
, және, осыдан
шығады.
№4.4. Берілген кернеулік күйде басты кернеулердің мәндері
,
,
тең, ол 4.11 суретте Мор диаграммасында көрсетілген. Сонымен, (4.8) формуласы бойынша
Тресктің қисық ағымдарын табу керек. Бұл
жазықтығында эллипс. (4.12) формуласы ұқсас, ол
түрдегі Мизес қисық ағымын береді. Мизес және Треск ағымдарының эллипстері бұл жағдай үшін 4.12-суретте салыстырылады.
№4.5. (4.72) формула бойынша
, сонымен қатар (2.71)-ға сәйкес,
және т.с.с., оның үстіне
/3. Осыдан
Осылайша
,
№4.6. Осыдан шығатыны
Сонда (4.12) формуласы мына теңдеуге келтіріледі
ол ықшамдалған соң 4.5,б-суретте бейнеленген
Мизес шеңберін сызады.
№4.7.
№4.6. есепте табылған
мәндерін (4.14) теңдеуге қоя отырып,
немесе
аламыз, ол деген XY жазықтық деген сөз (П-жазықтық).
№4.8.
болғанда (4.12) Мизестің қағидасы
теңдеуімен жазылады, ол эллипс түрінде болады (4.14-сурет)
4.14 – сурет
өстері көрсетілген
координат бағыттарына
бұрышпен жатыр. Осылай Треск қағидасы, яғни (4.8) формуласы
,
теңдіктермен бірге Треск алтыбұрышына әкеледі, ол AB және ED кесінділермен
теңдеумен, DC және FA кесінділермен
теңдеумен және де BC және EF кесінділермен
теңдеулермен сәйкес келеді.
№4.9. №6.26 есепте басты кернеулер арқылы
өрнегі табылды:
Бірөсті созылу және қысылу кезінде
болғанда, бұл формуладан
шығады. Сонда
және, бұрыңғыдай Мизес қағидасы (4.12) теңдігімен өрнектеледі.
№4.
10 (4.21) формуласынан координат жүйесінде жанама кернеулер нөлге тең және де ығысудың иілімділік деформациялары жоқ екенін көрініп тұр. Басты өсьтер жүйесінде (4.21) теңдеуі
түрде болады. Осылай
және т.б. Тізбектеп есептеп келесіні табамыз
№
4.11. Біздің жағдайда (4.19) теңдеуі былай жазылады:
Жанама кернеулер жоқ болғанда
. Сонда (4.9) формуласынан
түрінде Тресктің қағидаларын табамыз, ал (4.13)-ден берілген жағдай үшін Мизес қағидасын
немесе
яғни
табамыз.
№
4.12.
(4.21) қатынасынан алатынымыз
№
4.13
мұнда
Сонымен,
болғандықтан
№
4.14. Дәлелдеуі 4.13 есептің нәтижесінен шығатыны көрініп тұр, себебі ол жағдайда
болғандықтан, және осыдан шығатыны (4.22)-уі (4.21)-не келтіріледі.
№
4.15 (4.24) теңдігінен алатынымыз
Оны ашып жазғанда, алатынымыз
Бұл (4.23) формуламен бекітіледі
.№
4.16.
бетіне нормальдың бағытын береді, яғни бұл нормальды
шамамен сипаттауға болады, ал ол үшін
болуы талап етіледі, сонымен қатар Мизес қағидасына қатысты
орындалады. Сонда
және т.б., иілімділік деформацияның өсу векторы нормаль бойынша
-ге бағытталғандықтан
шығады.
№4.17.
а)
б)
болғанда, екі осьті кернеу күйі үшін,
в)
болғанда, таза ығысу үшін,
а)
шарт
және
деп берілсе. 4.16 есептің нәтижелерін қолданып,
табамыз.
б) берілген жағдайда
және
Осылайша
, ал үшінші термин алынып тасталады, өйткені әдетте бөлгіш пен алым нөлге айналғанда да нөлге айналады деп болжанады.
в)
Осы жағдайда және тағы алатынымыз
№
4.18. Басты осьтердегі жұмысты ұлғайтуға арналған өрнектер (4.30)
болады. Көрсетілген кернеулік күй үшін 4.17 тапсырмасының нәтижесі мыналарды көрсетеді
Осыдан шығатыны
.
(4.25)
формуланы қолдана отырып, табатынымыз
№
4.19.
шешіледі. Осымен, берілген жағдайда
. (4.32) қатыснасы енді (4.21) формуладан лезде шығады.
№
4.20. (4.34) қатаю заңы көрсетілген
түрді қабылдайды, ол
Ұқсас түрде (4.36) қатаю заңы да келесі түрде жазылады:
сонда
. (4.31) формуласынан (немесе 4.19 есебінен)
белгілі болғандықтан, лезде
аламыз.
№
4.21. теңдеулер арасында мындайда бар:
, ол
білдіреді.
теңдігінен шығады, сонда
шығады. Сол теңдіктен қатынасты аламыз:
, ол
түрге келеді, яғни (4.37)-нің өзі. Сондан басқа
теңдігінен
аламыз, ол (4.38) көрсетеді.
№4.22.
№4.21-есептің-теңдеуіндегі тензорлардың құраушыларын квадраттап және қосу арқылы келесі теңдікке келеміз:
, немесе
. Соңғы теңдіктің екі жағын 2/3-ке көбейтсек, алатынымыз
.
№4.23.
Бұл есепте нөлге тең емес жалғыз кернеу иілу кернеуі болады
Арқалықтың ішіндегі серпімді өзегінде (a<х2<a) теңдік орындалады, мұндағы R – арқалықтың қисық осінің қисықтық радиусы
, ал Е – Юнг модулі. Иілімділік аймақта
. Осылайша,
,
Мұнда,
, яғни серпімді және иілімділік аймақтар арасындағы шекарадағы кернеудің үздіксіздігі шарты қолданылады. Алынған формуладан иілімділік аймақ пайда болған кезде
екені анық, тек иілімділік аймақ пайда болғанда ғана (а=с болғанда),
, арқалық толығымен иілімділік күйде болғанда (а=0 болғанда).
№4.24.
Мұндай арқалықтағы кернеулердің таралуы 4.16-суретте көрсетілген. Қайтадан
, және, осыдан,
№4.23 есептегідей әдісті қолдану
шарт,
табамыз.
№4.25.
Бұл жағдайда жанама кернеуі
келесідей таралған:
болғанда
және
болғанда
, мұнда
- таза ығысу кезіндегі материалдың ағымдық шегі. Сонда
Осылайша,
иілімділік аймақтың
пайда болуының ең басын сипаттайтын бұралу момент
тең. Білік
толығымен иілімділік күйде
.
№4.26.
Әсер етуші жүктің симметриялылығына байланысты басты кернеулер сфералық координаталардағы құрамдас бөліктер
,
. Сонда Мизес қағидасы (4.12) келесідей болады:
. Серпімді күйдегі кернеу құраушылары өрнектермен бейнеленетінін көрсетуге болады.
Сондықтан
орындалады, осыдан
. Бұл қабықтың ішкі шекарасында иілімділік күй алғаш рет пайда болатын қысым (
болғанда).
№4.27. Кернеу тензорының негізгі мәндері зайырлы теңдеуден (4.37) табылады, оның осы жағдайда формасы осындай болады:
Анықтауышты үшінші бағанға
жіктей отырып, алатынымыз
.
Бұл теңдеудің түбірлері
болатыны анық
4.24.
Тепе-теңдік теңдеу
және
оларға (4.47) өрнектерді қойғаннан кейін олар келесіге айналады:
,
.
Егер
- координатасы
-сызық бойымен,
- координатасы
- сызық бойымен, онда
және тепе-теңдік
теңдеуі
-сызығы бойымен және
теңдеуі
- сызығы бойымен алынады. Бұл теңдеулер бірден интегралданады, нәтижесінде
-жолда
және
-жолда
аламыз.
№4.29.
материалдың берілуі жылдамдығы және
және
полярлық координаталар арқылы өрнектелген осы сырғанау сызықтары бойынша жылдамдық құраушыларын табыңыз.
-
, және (4.53) форма бойынша
немесе
екенін табамыз.
бойымен жылдамдықтың нормаль құраушысы үзіліссіз болғандықтан, бұл есепте бұл құраушы мынаған тең болуы керек
, яғни
. Дөңгелек
- сызықтар бойымен
, және (4.52) формула бойынша, алатынымыз
.
Аралас есептер
№4.30.
Басты кернеулер бойынша октаэдрлік ығысу кернеуі формуламен берілген (№4.22 есепті қараңыз)
.
Демек
, (4.12)-ға сәйкес,
.
№4.31. Жақшаларды кеңейту және терминдерді қайта реттеу арқылы оны былай жазуға болады:
.
Бірақ
және талап теліген теңдеуіміз алынды.
№4.32.
алынады. Егер бұл өрнекті Мизес қағидасына (4.12) ауыстырсақ, онда кейбір алгебралық түрлендірулерден кейін (4.42 есепті қараңыз)
аламыз. Треск қағидасын (4.8) теңдеуімен жазамыз:
. Әлбетте, егер
болса, екі қағида да сәйкес келеді. Сонда
, то; бұл жағдайды кейде цилиндрлік (осьтік симметриялы) кернеулік күйі деп атайды.
№4.33.
Бұл кернеу тензорының негізгі мәндері
,
,
болатынын көрсету оңай. Сонда (4.8) Треска қағидасы
келесі
теңдеуге әкеледі, ал (4.12) Мизес қағидасы
береді. Біз тағы бір рет
екі қағиданың да пайда болатынына және
пайда болмайтынына көз жеткіздік, яғни гидростатикалық қысым ешқандай жағдайда иілімділік күйдің сипаттамаларына немесе мұндай күйдің болуына әсер етпейді.
№4.34. (4.21)
теңдеуден,
екені көрініп тұр, себебі
, және, демек, сығылмау шарты
орындалады.
Прандтль-Рейс теңдеулерін кернеу тензорының құрамдас бөліктері бойынша жазайық:
.
, және т.с.с. нормаль құраушылар үшін де және
жанама үшін де.
№4.35.
Қисық ағымдықта
,
анықтама бойынша Мизес ағымы шеңберінің радиусы
тең. Координаталық осьтердің түрлендіру коэффициенттерінің кестесі 4.6 есепте берілген,
теңдіктерімен бірге және т.с.с.
және
теңдеулер алуға мүмкіндік береді. Сонымен қатар
– жазықтығын басқару да белгілі
. Осы үш теңдеуді бірге шеше отырып, біз оқырманның өзі көре алатындай қажетті формулаларға келеміз.
№4.36. Серпімділік күйдегі кернеу мен деформация арасындағы байланыс
,
бұл жағдайда теңдеуге келеді
. Сонда басты кернеулер тең болады
,
,
. (4.12)
,
осыдан ағымдық шегінде
(қысылу) табамыз. Ұқсас түрде
қатынастан, ағымдық шегінде
тең екенін көреміз.
№4.37.
Момент
мәніне жеткенде арқалықтың барлық көлденең қимасы толығымен иілімділік күйде болады (№4.23 есепті қара). Осы моменттің мәнінде шеткі талшықтардағы серпімділік кернеуі
-ге тең болды, мұнда
-
осіне қатысты арқалық қимасының инерция моменті. Моментті алғаннан кейін таралған теріс серпімді кернеулердің түсуіне сәйкес тең болады
Бұл 4.22-суретте көрсетілген қалдық кернеуге әкеледі
№4.3
8. Цилиндрлік координаталардағы кернеу құраушылары (4.24-сурет) басты кернеулер болады. Серпімді күйді талдау
,
мұндағы ,
көрсетуге мүмкіндік береді.
а) Бұл жағдайда Мизес қағидасы мынадай болады
,
немесе
.
Ағымдық шегі алғашқы рет
және
жетеді.
б) Треск қағидасы
теңдікке әкеледі, себебі
– басты кернеулердің шамасы бойынша аралық.. О
, ағымдық шегі алғашқы рет
және
жетеді.
5 тараудың есептерін шешуге арналған әдістемелік нұсқаулық
№5.6. (5.17) теңдеуден
интегралдау коэффициентін қолданып табатынымыз
ал
(5.18) формуланы қолданғанда, алатынымыз
немесе
(5.21) интегралдаушы көбейткіш ретінде
-ні алайық; сонда
және де (5.23) формула бойынша алатынымыз
№5.7. Осы модель үшін (5.1) және (5.19)-ге сәйкес
жылжымалы деформация келесі формула бойынша есептелі
Дәл осындай нәтижеге деформация
болатын жалпыланған Кельвин үлгісінде (N=2)
орнату арқылы немесе стандартты қатты дене үшін кернеулер мен деформацияларға қатысты заңды тікелей біріктіру арқылы алуға болады. Оқырманға тиісті есептеулер жүргізу ұсынылады.
№5.8. Жүктеме №5.7. есепте көрсетілгендей (яғни
) қолданылған кезде деформация заңға сәйкес өзгереді
нөлге айналады және сонымен бірге серпімді деформация
қалпына келеді.
болғанда деформацияның өзгеруі
-те көрсетілген модель үшін кернеу мен деформация арасындағы байланыс заңын көрсететін
-теңдеумен сипатталады (5.2 есепті қараңыз). Бұл диффренциалдық теңдеудің шешімі бар
мұнда
- тұрақты, ал
Ал
болғанда
аламыз, осыдан,
болғанда
№5.9. №
5.5. есептің нәтижелері бойынша мұндай модельдегі кернеу мен деформация арасындағы байланыс
теңдеумен, ал біздің жағдайымыз үшін
теңдеумен сипатталатын болады. Оны интегралдаймыз және
табамыз, мұнда
- интеграл тұрақтысы.
болғанда
тең және, осыдан
шығады.
Сонымен,
Бірдей нәтиже теңдеуді басқа жолмен интегралдау арқылы алынатынын ескеріңіз:
№5.10. Бұл жағдай үшін кернеу мен деформация арасындағы байланысты (№5.2 есепті қараңыз)
түрінде жазайық, егер
интегралдау коэффициентін қолдансақ, онда
(5.18) және (5.23) формулалары арқылы интегралдарды есептеп
табамыз.
№5.11. Берілген модель үшін кернеу мен деформация арасындағы байланыс:
Сонда
и
болғанда,
интегралдау көбейткіш көмегімен былай жазуға болады
Содан кейін,
(5.18) және (5.23) формулаларды қолданып,
табамыз
Бұл нәтижені жалпыланған Максвелл моделі үшін (5.30) формулаға
қою арқылы да алуға болатынын ескеріңіз.
№5.12.
Лаплас функциясының
түрлендірулерін пайдаланып
аламыз (Лаплас түрлендірулерінің кез келген кестесін қараңыз). Онда (5.40) формула бойынша табатынымыз
Лапластың түрлендіру кестесін пайдалана отырып, бұл өрнекті инверсиялау және
алу оңай. Бұл нәтиже жылжымалы тәжірибелердегіге ұқсас жүктеме заңы бойынша берілген модель үшін кернеу мен деформация арасындағы байланысты біріктіру арқылы тексеріледі.
№5.13. Кернеудің өзгеру заңын былай жазуға болады:
Оны (5.4) теңдеуге қоя отырып, алатынымыз
(5.18) те4деуд
ің көмегімен интегралдап, табатынымыз
№5.14. Кельвин үлгісі үшін
және формула (5.34) өрнекке әкеледі
ол
(5.18) және (5.23)-дің көмегімен, келесіге келеді:
Бұл интегралдарды тура есептеу №5.13. есепте алынған нәтижені растайды.
№5.15. Жүктеменің берілген өзгерісін 5.21-суретте көрсетілгендей
жазықтықтағы көлбеу сызықтармен анықталған жүктемелер тізбегі ретінде көрсетуге болады. №5.13 есепте бұл түрдегі жүктеме үшін деформация
ұмтылатынын байқайық.
№5.16.
(5.3) формуласын
түрде жазайық және оған (5.41), (5.42) өрнектерді қояйық.
аламыз, осыдан шығатыны
немесе стандартты түрде
.
5.11-суреттегі сызбадан табатынымыз
.
№5.17. Ұсынылған ауыстырудан кейін (5.5) теңдеу келесі түрде болады
, осыдан алданғыдай табатынымыз
.
№5.18. №5.17 есепте Максвелл моделінің комплекс модулі үшін
өрнегі алынған. (5.10) теңдеуін былай жазуға болады
.
Сонда жалпыланған Максвелл моделінің комплексті модулі
.
тең болады.
№5.19. (5.43) және (5.44) формулаларға сәйкес,
аламыз, осыдан шығатыны
,
яғни,
.
5.20. 5.10-суретте көрсетілген кернеу мен деформация векторлары үшін бір циклде
интегралын есептеу мынаны береді
№5.21.
(5.48,а) теңдеуді {P}
түрде жазайық және
-ны осы өрнекте (5.48,б) теңдіктің оң жағын алмастырайық. Қарапайым амалдардан соң алатынымыз
.
№5.22. (5.48,б) теңдігінен бұл жағдай үшін
, ал i=j=1 үшін (5.48,а) теңдігі
береді. (5.48,б) теңдігінен берілген жағдай үшін
аламыз, ал (5.48,а) теңдігінен, i=j=1 тең болғанда
береді. (5.6) қатынас Кельвин материалы үшін {P}=1 және
тең екенін көрсетеді; сондықтан да біздің есепте
,
немесе
.
Осы
дифференциалдық теңдеуді есептей отырып, алатынымыз
болады.
№5.23.
Біздің жағдайда
, сондықтан Келвин материалы үшін (5.48б) теңдігі
түрде болады, ал (5.48а) теңдігінен
шығады. Осы қатынастарды біріктіру арқылы, келесі дифференциалдық теңдеу аламыз
.
Интегралғаннан соң мынадай түрде болады
.
Бұл өрнекті (5.48,а) теңдікке қоя отырып, i=j=2 тең болғанда, келесіні аламыз
.
№5.24. Тұтқыр серпімді ортадағы
мүше {3Q}/{3KP+Q} операторына сәйкес келеді; сондықтан Кельвин денесі үшін тұтқыр серпімді есептің шешімін түрлендіру болады
.
Бұл өрнекті бөлшектердің қосындысы ретінде көрсету және түрлендіру кестелерін пайдалану арқылы оны өзгертуге болады. Нәтижесінде тұтқыр серпімді ортадағы кернеуді аламыз
.
№5.25. Серпімді ерітіндінің
мүшесіне сәйкес келетін тұтқыр серпімділік операторы {3K+4Q}/4Q (3K+Q) болады. Содан кейін Кельвин материалы үшін жылжудың Лаплас түрлендіруі арқылы беріледі
.
Ұзақ түрлендірулерден кейін алатынымыз
.
t=0 болғанда
=0 екенін және
болғанда
ұмтылатынын байқайық, яғни
болғанда серпімді ығысуға ұмтылады.
№5.26. Еркін тірелген арқалық үшін иілу кернеуі материалдың қасиеттеріне байланысты емес, сондықтан серпімді және тұтқыр серпімді материалдар үшін иілу кернеуі бірдей болады. Серпімді сәуленің иілісі
формула бойынша анықталады, мұндағы
- белгілі функция, ал I – арқалық қимасының инерция моменті. Максвелл материалы үшін
және
, сондықтан ауытқу мәнінің Лаплас түрлендіруі болады
.
Бұл өрнекті түрлендіргеннен кейін алатынымыз
.
t=0 болғанда майысу
серпімді аркалықтың майысуына тең болады.
№5.27. №5.23 есепте келесі алынған
.
Бұл өрнекті
арқылы
жазуға болады. Сонымен
болғанда
болады.