Егер (76)-(79) тапсырмалар үшін тиімді процесс болса, онда бір уақытта нөлге тең болмайтын және (80) функционал үшін төмендегі шарттар орындалатын , және Лагранж көбейткіштері табылады:

1. бойынша стационарлы:

; (81)

2. бойынша трансверсальдық шарты:

(82)

3. бойынша стационарлы шарты:

(83)

4. бойынша максимум принципі

(84)

5. (77) және (78) қатынастарымен таңбалардың келісімділік шарты: (77) қатынасындағы кейбір кезінде (немесе (78) қатынасындағы кейбір кезінде) белгісі тұрса, онда сәкесінше (); ал және кезінде (77) және (78) қатынастарында теңдік белгісі тұрса, және белгілеулері кез-келген болуы мүмкін;

6. қатаңдықты болдырмаудың толықтырушы шарты:

(85)

Сәйкес аралық координаталарды таңдау және басқару кезінде Понтрягин максимумының қағидасы классикалық вариациалық есептеулердің барлық есептерін шешу үшін қолдануға болатындығын айта кеткен жөн, алайда оның қолдану аумағы кеңірек [17].

Көптеген есептерді қарастырғанда Понтрягин функциясын қолданған пайдалы [18]:

. (86)

Оның көмегімен (76) және (81) теңдіктердің жүйелері келесі түрде жазыла алады:

. (87)

Ал максимум қағидасы бойынша (шарт (85))

. (88)

түрінде болады.

Мысал [18]. Келесі тапсырмада тиімді басқару процесін табу керек:

Шешім. Лагранж функциясын құрамыз

Осыдан және (81)-ші шарттан табамыз.

Пусть болсын, онда . Ал шартынан ((82) шартты қараңыз) және шығады.

Сондықтан , ал (84)-ші шартқа сәйкес болғандықтан, онда

Сондықтан, , байланыс теңдеулерінен

табамыз.

Бірақ есептің шарты бойынша , бұл үшін алынған өрнекке қарама-қайшы. Сондықтан.

деп алайық. Онда .

екендігін ескеріп, табамыз.

Эйлер теңдеуінен

аламыз.

болсын.

болғандықтан, онда кезінде теңсіздігі орындалады, және (84) ескере отырып, шартына қарама-қайшы шығатын аламыз. Сәйкесінше, .

Егер деп алсақ, онда барлық кезінде , осыдан шартына қарама-қайшы мәндері шығады.

Ендеше, . Онда

және максимум қағидасына (84) сәйкес келесі жүйені аламыз

мұндағы - жеткілікті аз сан.

Енді байланыс теңдеуінен

аламыз.

функциясы кесіндісінде үздіксіз, сондықтан үшін алынған екі өрнек те өзара тең болатын нүктесі бар, яғни , бұдан . Ендеше,

байланыс теңдеуін және шартын пайдаланып

, егер ,

, егер

табамыз.

үздіксіз күшінде болғанда теңдігін аламыз, бұдан және

шығады.