Айталық, кейбір процестің математикалық моделі әрекеті қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесінде сипатталатын уақытты аралық координаталарына байланысты сипатталады [17].

,      (76)

мұндағы - процестің жүрісін анықтайтын басқарудың параметрлері.

мүмкін болатын басқарулар кейбір жиынында болсын деп есептейік, және бұл жиынында

Будем считать, что допустимые управления содержатся в некотором множестве , и в этом множестве

басқару бар және ол басқару объектісін бастапқы күйден

соңғы күйге ауыстырады

.

Бастапқы және соңғы күйлер шектік шарттарды қанағаттандырсын

,     (77)

ал аралық координаталар мен басқару изопериметрикалық шектеулерге тәуелді

.     (78)

Сол сияқты

.     (79)

функционалы процестің кейбір мінездемелерін оның мақсаты, бағасы немесе сапасына қарай шартты түрде қарастырып, тұжырымдайды деп болжайық.

Тиімді басқарудың есебі жиынында (79) функционал экстримал мән қабылдайтындай етіп, (77) шектік шартын және (78) изопараметрлік шектеулерді қанағаттандыратын күйінен -ге ауысқан кездегі (76) жүйемен сипатталатын

басқаруды іздеуден тұрады. Анықтылық үшін (79) функционалдың минимумын қарастырамыз.

Анықтама 1. Четверку төрттікті (76)-(79) тиімді басқару есебінде басқару процесі деп аталады, егер

а) басқаруы – жиынында жататын кесіндідегі құрама-үздіксіз функция;

б) кесіндіде аралық траекториясы үздіксіз;

в) болуы мүмкін басқаруының үзіліс нүктелерінен басқа барлық үшін функциялары (76) –дағы теңдеулер жүйесін қанағаттандырады.

Анықтама 2. Басқарылатын процесс мүмкін болатын деп аталады, егер (77) және (78) шарттары қанағаттандырылса.

Анықтама 3. Егер әр мүмкін болатын процесс үшін табылып, үшін теңсіздігі орындалса, онда ықтималды басқарушы процесс тиімді деп аталады.

Тиімді басқару процесін анықтауға мүмкіндік беретін тиімді басқару есебінің экстремумының қажетті шарттары Л.С. Понтрягинмен алынған және ол Понтрягин максимумының қағидасы деп аталады [17].

Осы қағидаға тұжырым беру үшін және , - кейбір тұрақты векторлар, ал - кесіндіге Для формулировки этого принципа предположим, что и , - некоторые постоянные векторы, а - үзікті-тегіс деп сипатталған вектор-функция.

Лагранж функциясын

,

және функционалды

.      (80)

енгізейік.

Тиімді басқарылатын процесс бар болсын

.

Кез-келген функция үшін келесі белгілеуді енгіземіз

.

Понтрягин максимумының қағидасын тұжырымдаймыз.