Аталған әдісті қарастыруда келесі [1], [5] теоремалары қолданылады:

Теорема 2 (Тиімділік критерийлері) U – дөңес жиын болсын, функция , - U жиынындағы J(u) минимумының нүктелерінің жиыны. Онда -дың кез-келген нүктесінде

          (35)

теңсіздігі барлық кезінде орындалады, ал жағдайында (35)-ші теңсіздік теңдігіне айналады. Егер U жиынында J(u) дөңес болса, онда (35)-шарты болуға жеткілікті.

- дөңес программалаудың тегіс есебінің шешіміне кезекті жақындауы болсын: , - дөңес тұйық жиын, - - жиынында дөңес дифференцияланатын функция. Мұнда . Онда нүктесінің маңайында функциясы келесі түрде бола алады:

,

және сызықтық функциясы нүктесінің бірқатар маңайындағы өлшеміне дейінгі нақтылықпен айырымының жуықтауы болып табылады.

сызықтық функциясының жиынында минимизациялаудың қосымша есебін қояйық, яғни

.     (36)

- осы есептің шешімі болсын. жиынындағы функциясының минимумының нүктесіне келесі жуықтауы шартты градиентті әдіс бойынша келесі формуладан табылады:

.      (37)

Мүмкін болатын жиынның дөңестік шарты негізінде .

шамасы (37)-ші формуладан шартты градиентті әдістің әртүрлі нұсқаларында әр түрлі есептеледі.

шамасын анықтаудың екі тәсілін сипаттайық:

1) , мұндағы бағыт бойынша жылдам түсу шартынан табылды:

,

мұндағы

.

2) (37) итерациясының бастапқы орындалуында деп есептейік, сосын

      (38)

шарты тексеріледі.

Егер ол бұзылса, онда -ны 2 есеге азайтады (бөлшектейді) және (38)-ші шартты қайта тексереді. Бөлшектеуді (38)-ші теңсіздігі орындалғанша жүзеге асырады, одан кейін келесі итерацияға көшеді.

Шартты градиент шарты бойынша есептелудің аяқталу шарты градиентті проекциялау әдісінің шартына сәйкес келеді.

(36)-шы қосымша есебі сызықты емес программалаудың есебі болып табылатындығын атап айтайық. Оның іздеу шешімі қиындық туғызбайды деп көрсетейік [7], [8].

1. мүмкін болатын жиыныны сызықтық шектеулермен және кері емес айнымалылар шартымен берілді. Онда (9) – сызықтық программалау есебі, және оның шешімін симплекс-әдісінің көмегімен табуға болады [16].

2. Мүмкін болатын жиын

- өлшемді параллелепипед болып табылады. Онда

                 (39)

3. Мүмкін болатын жиын

центрі нүстесінде болатын радиусты шар болып табылады. Онда

.

Мысал 5. Градиенттің шарты әдіс арқылы

сызықтық емес программалау тапсырмасын шығару, есептеу

теңсіздігінің орындалуы кезінде аяқталуы керек.

Шешімі. Бастапқы жуықтау ретінде, мысалы, нүктесін таңдайық.

Қадам 1. градиентін нүктесінде табайық: .

Көмекші есепті құрамыз:

Бұл есеп сызықтық программалау есебі, оны сипмлекс-әдіс арқылы шешуге болады [16]. Бірақ, мүмкін болатын жиын – тікбұрышты, сондықтан қатынасты (39) қолдану тиімдірек. Оны келесі есеп үшін жазайық:

Бұдан шығады.

шамасын бірінші тәсілмен табамыз. Бұл жағдайда

шартынан табамыз. Сондықтан .

Кезекті жуықтауын (37)-ші формула бойынша есептейміз:

болғандықтан, талап етілген дәлдік қанағатандырылмайды.

Градиенттің шартты әдісінің келесі қадамдарындағы есептеулердің нәтижелері 5-кестеде келтірілген.

5-кесте.

Соңғы шешім

, .