Шартсыз экстремум есептерімен бірге айнымалылары бірқатар қосымша шарттарды қанғаттандыруы керек болатын есептер де бар. Осы шарттар мысалы ретінде белгілі бір айнымалылардың оң болуы, ресурстардың шектеулі болуы, нормалау шарты, жүйе конструкциясы параметрлерінің шектеулігі және тағы басқаларды қарастыруға болады.

Анықтама 1. Егер функцияның экстремуммын анықтау есебінде айнымалысы берілген бірқатар () жиынына тиісті болса, онда мұндай есептерді шартты экстремум есебі деп атаймыз.

, .

шектеулер

, …, (28)

теңдік түріндегі шектеулер деп атау қабылданған.

Шартты экстремум есептерінде қосымша шарттар тек ғана келесі түрдегі теңсіздік түрінде берілуі мүмкін

. (29)

Яғни (29) теңсіздік түріндегі шектеулер жағдайында функциясының экстремумын анықтау қажет.

Егер функциясының экстремумын анықтау есебінде қосымша шарттар (28) түрінде де, (29) түрінде де берілетін болса, онда мұндай есептерді аралас типтегі шектеулері бар есеп деп атайды.

2. Нүктенің жиынға проекциясы. Градиент проекциясы әдісін сипаттау үшін бізге нүктенің жиынға проекциясы түсінігі қажет болады.

Анықтама 2. Айталық . жиынындағы нүктесінің жиынына проекциясы деп жиынында нүктесіне ең жақын орналасқан нүктесі аталады. Яғни шартын қанағаттандыратын нүктесін айтамыз.

нүктесінің жиынындағы проекциясын түрінде белгілейміз.

- нүктесінен жиынына дейінгі ара қашықтық болғандықтан, анықтамадан келесі қорытынды шығады:

, , .

Егер болса, онда әрқашан болады.

Бірақ та, нүктенің жиынға проекцясы әрқашан бола бермейді.

Мысал 1. Егер - -дегі центрі нүктеде болатын, радиусы бар ашық шар болса, онда ешбір нүктесі нүктенің осы жиынға проекциясы болмайды.

Бірақ та жиыны тұйық болса, онда кез-келген нүктенің жиынында проекциясы бар болады.

Нүктенің жиынға проекциясы бірмәнді анықталмауы мүмкін. Бірақ та, келесі теорама бойынша дөңес жиындар үшін мұндай жағдай болмайды [1], [7].

Теорема 1. Айталық, - -дегі дөңес жиын болсын. Онда 1) кез келген нүктенің осы жиында бір ғана проекцисы бар болады; 2) нүктесі нүктесінің жиынына проекциясы болу үшін кез келген нүктесі үшін шартының орындалуы қажетті және жеткілікті

Нүктенің жиынға проекциясы айқын түрде жазылуы мүмкін жиындар мысалын келтірейік [7].

Мысал 2. Айталық, - центрі нүктесінде болатын, радиусы бар тұйық шар болсын. Геометриялық тұжырымдар бойынша нүктенің проекциясы болатыны айқын.

Мысал 3. Айталық,

жиыны -өлшемді параллелепипед болсын. Мұндағы: , - берілген сандар, , .

Айталық, болсын. нүктесінің жиынындағы проекциясы болып координаттары

формуласымен анықталатын нүктесі болып табылады.