3.4. Түйіндес бағыттар әдісі

Келесі есепті қарастырайық

мұндағы

Түйіндес бағыттар әдісі  функциясының минимумына  біртіндеп жуықтауын келесі түрде құруға негізделген [7]:

             (21)

мұндағы  - алын ала таңдап алынған бастапқы жуықтау,  қадамы келесі шарттан алынады

                            (22)

мұндағы

Яғни  қадамы жылдам түсу әдісіндегідей таңдап алынады. Ал түсу бағыты  келесі формула арқылы анықталады:

мұндағы

Сонымен, түйіндес бағыттар әдісі жылдам түсу әдісінен тек ғана әрбір қадамдағы функцияның кему бағытын  ( орнына ) таңдап алумен ғана ерекшеленеді.

(23) формуладағы  тек ғана антиградиентпен  емес, сонымен бірге алдыңғы қадамдағы түсу  бағытымен де анықталады. Бұл градиенттік әдістерге қарағанда, функцияның минимум нүктесіне біртіндеп жуықтаудың (21) формуласында  функциясының ерекшеліктерін ескеруге мүмкіндік береді.

Түйіндес бағыттар әдісінде берілген дәлдікке жету критериі ретінде келесі теңсіздіктің орындалуы қарастырылады

Әдетте, есептеулер кезіндегі ауытқуларды азайту үшін әрбір -итерацияда (21) формулада  ( -алгоритм параметрі) деп алады. Яғни, әдісті жаңартып отырады

 кеңістігінде дөңес квадраттық функцияны түйіндес бағыттар әдісімен минимизациялау үшін -нен артық емес итерация жасалынады.

Мысал 3. Егер бастапқы жуықтау  берілген болса, келесі функцияның минимум нүктесін түйіндес бағыттар әдісімен анықтаныз

.

Шешуі.  -функциясы -де берілген квадраттық функция. Сондықтан  нүктесі түйіндес бағыттар әдісі бойынша екі итерациядан кейін анықталады.

1-қадам. (21)-(23) формулалар бойынша келесі мәндерді анықтаймыз:

 функциясының минимумдық  шартынан  екенің аламыз. Осыдан

2-қадам. , осыдан (13) шартын ескерее отырып келесі мәнді аламыз

Сондықтан

,

және  функциясының минимумдық  шартынан  екенің аламыз.

Анықталған  мәндерді (21) формулаға қою арқылы келесі мәнді аламыз

Берілген функцияның минимум нүктесі анықталды