3.2. Экстреммумның қажетті және жеткілікті шарттары

Көп айнымалылы функцияның экстреммдарының қажетті және жеткілікті шарттарын тұжырымдайық [1]-[5].

Теорема 1. (локальды экстремумның қажетті шарты).

Айталық,  функциясы  жиынының барлық нүктелерінде дифференциалданатын болсын. Онда  функциясының  жиыныныңдағы локальды экстремум нүктелері болып,  шарты орындалатын  нүктелері болады.  шартын (12) формула негізінде келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

, .                                      (15)

Анықтама 5. (15) жүйені қанағаттандыратын барлық  нүктелері  функциясының стационар нүктесі деп аталады.

Сонымен,  функциясының экстремум нүктелерін іздеуді (15) жүйені шешуден және  функциясының барлық стационар нүктелерін анықтаудан бастау керек.

Бірақ та, стационар нүктелердің барлығы локальды экстремум нүктесі бола алмайды. Мысалы,  функциясы үшін (0, 0) нүктесі стационар нүкте болады, бірақ осы нүктеде  функциясының экстремумы жоқ: (0, 0) нүктесінің кез келген аз маңайында функция оң және теріс мән қабылдайды.

Сондықтан қосымша зерттеулер жүргізу арқылы стационар нүктелердің ішінен экстремум нүктесі болатындарын анықтау қажет.

Теорема 2. (локальды экстремумның жеткілікті шарты).

Айталық,  функциясы  нүктесінің -маңайында екі рет дифференциалданатын болсын. Яғни . Онда

а) егер  стационар нүктесінде  - квадраттық формасы оң анықталған, яғни

,

болса, онда   - нүктесі  функциясының локальды минимум нүктесі;

б) егер  стационар нүктесінде  - квадраттық формасы теріс анықталған, яғни

,

болса, онда   - нүктесі  функциясының локальды максимум нүктесі;

в) егер  стационар нүктесінде  - квадраттық формасы ауыспалы таңбалы, яғни бірде оң мән, бірде теріс мән қабылдаса, онда   - нүктесінде  функциясының локальды минимум немесе локальды максимум болмайды.

Квадраттық форманың таңбасын тексеру критерийі бар.

Сильвестр критерийі. 1)  квадраттық формасы оң анықталған болады, сонда тек ғана сонда, егер А матрицасының барлық бұрыштық минорлары оң болса.

2)  квадраттық формасы теріс анықталған болады, сонда тек ғана сонда, егер А матрицасының  бұрыштық минорларының таңбалары алмасып отырса, , яғни  .

Сонымен  квадраттық формасының бұрыштық минорларының таңбаларын тексеру үшін (14) түрдегі  матрицасының бұрыштық минорларын есептеп, олардың таңбасын тексеру жеткілікті болады.

Стационар нүктедегі  (барлық ) квадраттық формасының таңбасы өзгермейтін, бірақ бірқатар  үшін нөлге тең болған жағдайда  стационар нүктесінің маңайында функцияны сипаттау үшін жоғары туындыларын және оған сәйкес келетін жоғары дәрежелі формаларды қарастыру керек.

Қарастырылған әдістермен  функциясының барлық локальды минимум (локальды максимум) нүктелерін анықтауға болатын болса, онда  кеңістігінде осы функцияның глобальды минимум (глобальды максимум) нүктесін анықтау үшін барлық локальды минимум (локальды максимум) нүктелерінің ішінен функция ең кіші (ең үлкен) мән қабылдайтын нүктені таңдап аламыз.

 кеңістігінде функцияның экстремумын анықтау есебін шартсыз экстремум есебі деп атау қабылданған.