Тарау 3. Шартсыз экстремум есептерін шешудің сандық әдістері

3.1. Негізгі түсініктер және анықтамалар

Айталық, п өлшемді  евклид кеңістігінің бірқатар  облысында  функциясы берілсін.

Егер кез келген  нүктесі үшін

теңсіздігі орындалса, онда  функциясы  нүктесінде өзінің ең кіші (ең үлкен) мәнің қабылдайды дейміз.

Вейерштрасс теоремасы[5]. Тұйықталған шектелген облыстағы кез келген үзіліссіз функцияның осы облыста ең үлкен және ең кіші мәні бар болады.

Анықтама 1. Айталық,  функциясы  облысында анықталған болсын. Егер  нүктесінің  маңайы бар болып, барлық  нүктелері үшін  (сәйкесінше ) шарттары орындалатын болса, онда  нүктесі қатан минимум нүктесі (сәйкесінше қатан максимум нүктесі) деп аталады.

Қатан минимум нүктесі (сәйкесінше қатан максимум нүктесі) барлық  нүктелері үшін

 (сәйкесінше  )

Шарттарының орындалуымен сипатталады.

Егер де  нүктесі үшін  маңайы бар болып, барлық  нүктелері үшін  (сәйкесінше ) шарты орындалатын болса, онда  нүктесі минимум нүктесі (сәйкесінше максимум нүктесі) деп аталады.

 функциясының минимум және максимум нүктелері осы функцияның экстремум нүктелері деп аталады.

Көп айнымалылы функцияның экстремум нүктесін (яғни локальды минимум және максимум нүктесін) анықтаудың классикалық әдісі ретінде дифференциальдық есептеулер арқылы анықталатын әдісті атаймыз. Көп айнымалылы функциялардың дифференциальдық есептеулерді кейбір түсініктерін қарастырайық [1]-[5].

Анықтама 2.  Айталық,  функциясы и нүктесінің бірқатар  маңайында анықталған болсын.  функциясы и нүктесінде дифференциалданады дейміз, егер  векторы бар болып және функцияның  өсімшесін келесі түрде жазуға болатын болса,

,                         (11)

мұндағы  - шамасы -қа қарағанда жоғары дәрежелі шексіз аз шама, яғни .

 шамасы h қатысты (11) өсімшесінің бас сызықтық бөлігі болып табылады және  функциясының и нүктесіндегі дифференциалы деп, ал  векторы осы функцияның и нүктесіндегі градиенті деп аталады.

(11) шарты градиентті анықтайды

 ,                         (12)

мұндағы  - айнымалысы бойынша  функциясының и нүктесіндегі дербес туындысы.

Екі рет дифференциалданатын функцияны анықтау үшін квадраттық форма түсінігі керек болады.

Анықтама 3. Квадраттық форма деп  айнымалысының  функциясын айтамыз. Ол квадраттық форма матрицасы түрінде анықталатын өлшемі  болатын симметриялық сандық матрица түрінде болады:

Анықтама 4. Айталық,  функциясы u нүктесінің бірқатар  маңайында анықталған болсын. Онда  функциясы u нүктесінде екі рет дифференциалданады дейміз, егер  градиентімен бірге  өлшемді  симметриялық матрицасы бар болып, и нүктесіндегі функцияның  өсімшесін келесі түрде сипаттауға болатын болса,

,            (13)

мұндағы  - шамасы -қа қарағанда жоғары дәрежелі шексіз аз шама, яғни  .

 айнымалысының  квадраттық формасын и нүктесіндегі  функциясының екінші дифференциалы деп, ал  матрицасын осы функцияның и нүктесіндегі екінші туындысы деп атаймыз.

(13) шарт негізінде  матрицасы біртекті анықталады және келесі түрде болады:

      (14)

  матрицасының элементтері,  функциясының  айнымалылары бойынша дербес туындылары болып табылады.