2.5. Сынықтар әдісі

функциясы кесіндісінде Липшиц шартын қанғаттандырады дейді, егер барлық үшін, (Липшиц тұрақтысы) саны бар болып, келесі шарт орындалса,

. (9)

Практикада Липшиц шартының орындалатының келесі түрде тексереді: егер функциясы кесіндісінде шектелген туындысы бар болса, онда ол (9) шартты қанағаттандырады және .

Сынықтар әдісі - Липшиц шартын қанағаттандыратын кез келген (міндетті түрде унимодальды) функцияны минимизациялауды есептеуге арналған тізбекті әдіс болып табылады.

Айталық, функциясы кесіндісінде L тұрақтысымен Липшиц шартын қанғаттандыратын болсын. функциясын минимизациялайтын сынықтар әдісін сипаттайық[7]

деп аламыз және келесі есептеу сұлбасын қолданамыз:

1-қадам. жұп сандарының орнына екі жаңа және жұптарын келесі түрде құрамыз:

мұндағы

2-қадам. Алынған екі және жұптардың ішінен екінші компонентасы кіші болатының аламыз. Оны деп белгілейміз және қарастырылатын жиындардан шығарып тастаймыз ( бұл қадамда ретінде және жұбының кез келгенің алуға болады). жұбының орнына компоненттері келесі формула арқылы есептелінетін екі жаңа және жұбын аламыз:

мұндағы

Нәтижесінде үш жұп сандардан тұратын жиын аламыз.

п-қадам. Алдыңғы есептелген п қадамнан кейінгі жұбының ішінен, екінші компонентасы р кіші болатын жұпты таңдап аламыз. Оны деп белгілейміз. Осы жұпты қарастырудан алып тастаймыз және оның орнына келесі формула бойынша анықталатын екі жаңа сандар жұбын аламыз:

(10)

мұндағы

деп алып, минимизациялау есебінің жуық шешімін аламыз. анықтау дәлдігі теңсіздігімен сипатталады.

Сынықтар әдісінің геометриялық мағынасы барлық түйін нүктелеріндегі бұрыштық коэффициенті тең болатын және функция графигіне астынан жақындай беретін сынықтар тізбегін құруға келіп тіреледі (сурет 5).

метод ломаных

Сурет 5. Сынықтар әдісі

Мысал 5. Сынықтар әдісі арқылы [10; 15] аралығында функциясының минимумы мен минимум нүктесін 0,01 дәлдігімен анықтау керек.

Шешуі. Берілген аралықта функциясы дифференциалданады. Өйткені болғанда

болғандықтан, функциясы Липшиц шартын L = 0,11 тұрақтысымен қанағаттандырады.

екенің анықтап, есептеуді (10) қатынасты пайдалана отырып жалғастырамыз. Есептеулер 2-кестеде келтірілген.

Кесте 2.

Сынықтар әдісі

n	Қарастырылмайтын (x, p) жұбы			Қосылған жұптар (x, p)
n
1	12,056	–0,281	0,240	10,963	13,149	–0,161
2	10,963	–0,161	0,070	10,646	11,280	–0,126
3	13,149	–0,161	0,203	12,227	14,071	–0,096
4	10,646	–0,126	0,038	10,474	10,818	–0,107
5	11,280	–0,126	0,041	11,094	11,466	–0,107
6	10,474	–0,107	0,024	10,364	10,584	–0,095
7	10,818	–0,107	0,160	10,745	10,891	–0,099
8	11,094	–0,106	0,016	11,020	11,168	–0,098
9	11,466	–0,106	0,028	11,338	11,594	–0,092
10	10,891	–0,099	0,008<	–	–	–

Кестеден екенің аламыз. Q = [10; 15] екенің, яғни функция унимодальды функция болмағандықтан, бұл жағдайда минимизациялау әдістерінің ішінен тек ғана сынықтар әдісі қолданылады.