2

2.4. Жанамалар әдісі

Жанамалар әдісін талдамас бұрын, бұл әдістің қандай функциялар үшін қолданылатының қарастырайық. Экстремальдық есептер теориясында маңызды рөл атқаратын дөңес функциялар анықтамасын берейік [1].

Анықтама 4. кесіндісінде анықталған, функциясы осы кесіндіде дөңес деп аталады, егер

(4)

барлық және мәндері үшін.

нүктесі кесіндісін жүріп өткенде,

нүктелері, айнымалылар жазықтығында функциясының графигінде , нүктелерін қосатын хорда бойымен жүріп өтеді. Сондықтан (4) теңсіздігінің қарапайым геометриялық мағынасы бар: дөңес функция графигі кез келген кесіндісінде, графиктің және нүктелерін қосатын хорданың астында болады.

Кез келген кесіндідегі дөңес функция мысалы ретінде , , функцияларын келтіруге болады.

Тиімдестіру есептерінде дөңес функциялар мен бірге ойыс функциялар да кездеседі.

Анықтама 5. кесіндісінде анықталған, функциясы осы кесіндіде ойыс деп аталады, егер

барлық және мәндері үшін.

Дөңес және ойыс функциялар арасында тығыз байланыс бар: егер кесіндісінде функциясы дөңес болса, онда осы кесіндіде функциясы ойыс болады. Осы байланысты ескере отырып, дөңес функциялар қасиетін ғана қарастырамыз.

Келесі теорема дөңес және унимодальды функциялар арасындағы байланысты көрсетеді.

Теоерма 1. Егер кесіндісінде функциясы дөңес және , болса, онда кесіндісінде унимодальды болады.

Дөңес функциялар үшін дөңнтік критериілерін тқжырымдайық.

Теорема 2. кесіндісінде дифференциалданатын функциясы дөңес болу үшін, кесіндісінде оның туындысы кемімейтін болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема 3. кесіндісінде екі рет дифференциалданатын функциясы дөңес болу үшін, кесіндісінде шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Қорытынды. 1-3 теоремалардың шарттарын қанағаттандыратын функциясы үшін аралығында болады. Сондықтан аралығында функциясын минимизациялау үшін 2.1-2.3 бөлімдерінде қарастырылған әдістерді қолдануға болады. Бірақ та, егер функциясының мәні және оның туындысының мәні оңай есептелінетін болса, онда жанамалар әдісін қолдану тиімді болады. Осы әдісті қарастырайық.

Айталық, функциясының минимум нүктесі аралығындағы жатсын делік. Әрі қарай, жанамалар әдісі тек ғана дөңес функциялар үшін орындалатындықтан, функциясының аралығындағы дөңестігін тексеміз. Ол үшін 6-теореманы пайдалануға болады.

болғандықтан, , болады. Сондықтан да және нүктелерінен функциясының графигіне жүргізілген жанама, абциссасы нүктесінде болатын жазықтықтың бірқатар нүктесімен қиылысады. Осыдан с нүктесін анықтайтын формуланы қорытып шығару қиын емес:

. (5)

функциясының дөңестігінен келесі тұжырымдар шығады:

а) егер , онда ; (6)

б) егер , онда ; (7)

в) егер , , онда . (8)

(5)-(8) қатынастары жанамалар әдісінің негізі болып табылады. Яғни, келесі жағдайлар болуы мүмкін:

а) , жана белгілеулерін енгіземіз және (5) формулда -ны , -ны алмастыру арқылы нүктесін анықтаймыз;

б) , жана белгілеулерін енгіземіз және (5) формулда -ны , -ны алмастыру арқылы нүктесін анықтаймыз;

в) болу үшін, және шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Айталық, а) ж»не б) шарттары ғана орындалсын делік. Егер осындай амалдарды п рет қайталасақ, онда нүктесі орналасқан кесіндісін және функциясының минимум нүктесіне жинақталатын , ,…, нүктелер тізбегін аламыз.

Егер п-қадамда в) шарты орындалса, онда болады. Яғни біз минимум нүктесін дәл анықтаған боламыз.

Егер п-қадамда в) шарты орындалмаса, онда итерациялық процессті шарты орындалғанша қайталаймыз. Мұндағы саны алдын ала беріледі. Онда мәні берілген дәлдікпен анықталған дейміз. Есептеулержүргізу алдында , , , , , сандарын анықтап алу қажет.

Жанамалар әдісінің жинақталуы туралы қысқаша келесіні айтуға болады. Жанамалар әдісінің жинақталу жылдамдығы, бөлімі болатын геометриялық прогрессияның жинақталу жылдамдығынан кем емес болады

Әдістің геометриялық мағынасы бойынша функциясы үзіліссіз бөлікті-сызықтық функцияға аппроксимацияланады. Аппросимацияланушы функцияның графигі нүктелерінде функциясына жүргізілген жанамалар кесіндісінен тұратын сынықтар болып табылады.