2.2. «Алтын қима» әдісі

 

Алтын қима әдісі - унимодальды функцияларды минимизациялаудың әлдеқайда тиімді әдісі болып табылады. Бұл әдісті қарастырмас бұрын алтын қима түсінігін енгізейік [10].

Анықтама 1. Алтын қима деп кесіндісін с нүктесінде бір біріне тең емес екі бөлікке бөлгендегі (сурет 3), үлкен бөлігінің ұзындығы кесіндінің барлық ұзындығы мен оның кіші бөлігінің ұзындығыны арасындағы орташа пропорционалды айтамыз. Яғни

.

Сурет 3. «Алтын қима» анықтамасы

Кез келген кесіндіде мұндай екі нүкте бар болады (сурет 4) және екінші нүкте үшін келесі қатынас орындалады

:

Сурет 4. Кесіндіні бөлу

және нүктелері келесі теңдіктермен анықталады:

, (2)

. (3)

Бұл нүктелердің әрқайсысы кесіндісінің алтын қимасы болады. Сонымен бірге, с нүктесі кесіндісінің, ал нүктесі кесіндісінің алтын қимасы болады.

Одан кейін және мәндерін анықтаймыз және өзара салыстырамыз. егер

1) болса, онда , , деп аламыз және нүктесін (2) формуласы бойынша анықтаймыз;

2) болса, онда , , деп аламыз және нүктесін (3) формуласы бойынша анықтаймыз.

Осыдан көрініп тұрғандай, алтын қима әдісінің әрбір қадамында функциясының мәнің бір рет ғана есептейміз. Яғни берілген дәлдікті қанағаттандыру үшін орындалатын есептеулер саны аз болады.

Егер осындай операцияларды п рет қайталасақ, онда нүктесі орналасқан ұзындығы болатын кесіндісін аламыз. деп алсақ, онда нүктесін анықтаудың қателеге санынан аспайды. саны функциясының кесіндісіндегі минимальды мәні ретінде алынады.

Қорытынды. Жоғарыда қарастырылған әдістер көмегімен, берілген функция үшін кесіндісінде жиынына жинақталатын минимальдаушы тізбектер құрылды.

Мысал 2. [0,1] кесіндісінде функциясының минимальды мәнің дәлдігімен табу керек.

Шешуі. (2) және (3) формулалар арқылы c = 0,382, d = 0,618 нүктелерін анықтаймыз және осы нүктелердегі функция мәндерін есептейміз:

болғандықтан, деп аламыз. Итерацияны тоқтату шарты орындалмағандықтан, деп аламыз және (2) және (3) формулалар арқылы мәндерін анықтаймыз.

болғандықтан, болады. Итерацияны тоқтату шарты орындалмағандықтан, деп аламыз және (2) және (3) формулалар арқылы мәндерін анықтаймыз.

болғандықтан, болады. Жоғарыдағы есептеулерге ұқсас есептеулерді жүргізе отырып келесі мәндерді аламыз:

Онда болады және келесі мәндерді аламыз:

Онда болады. Итерацияны тоқтату шарты орындалғандықтан, яғни болғандықтын, есептеуді тоқтатамыз. Есептеулерді келесі кесте түрінде жүргізген ыңғайлы:

Кесте 1

«Алтын қима» әдісі

　

n

an

bn

cn

dn

f(cn)

f(dn)

З

Н

А

К

0

1

2

3

4

5

0

0

0,236

0,236

0,326

0,326

1

0,618

0,618

0,472

0,472

0,416

0,382

0,236

0,382

0,326

0,382

-

0,618

0,382

0,472

0,382

0,416

-

-1,1733

-1,1550

-1,1733

-1,1728

-1,1733

-

-1,0910

-1,1733

-1,1575

-1,1733

-1,1696

-

<

³

<

³

<

-

0,500

0,309

0,191

0,118

0,073

0,045

Онда және деп аламыз.