Тиімдестіру есептері адам қызметінің барлық саласында кездеседі. Кез келген ақылға сиымды әрекет белгілі бір мағынада тиімді болып табылады. Өйткені ол басқа іс-әрекеттермен салыстырылып алынады.

Егер осы есептердің экономикалық, физикалық, химиялық және тағы да басқа мазмұндарын ескермесек, онда оның барлығы келесі тиімдестіру есебіне келтіріледі:

Бірқатар В кеңістігінің бірқатар U жиынында функциясының немесе функционалыныңминимумын «немесе максимумын) табу керек, яғни

Мұндағы - и басқару сапасын сипаттайды, ал U жиыны қарастырылатын жүйедегі ресурстардың шектеулі, экономикалық мүмкіндіктердің немесе басқа да процесстердің шектеулі екендігін білдіреді.

Тиімдестіру есептерін шешу әдістерін талқылауды бір айнымалылы функцияларды тиімдеу есептерінен бастаймыз. Бір айнымалылы функцияларды тиімдеу есептерімен математикалық талдаудың бастапқы тарауларында кездестірген боларсыздар. Бұл оқу құралында біз минимумдау есептерін шешудің сандық әдістерін қарастырамыз.

Айталық, - сандық ось , - U-да анықталған және барлық нүктесінде ақырлы мән қабылдайтын функция болсын. Минимум нүктесін және функциясының минимальды мәнің, яғни

болатындай нүктесін табу керек.

Математикалық талдау курсының бірқатар анықтамаларын еске түсірейік [1]-[3].

Анықтама 1. Егер кез келген нүктесі үшін шарты орындалса, онда нүктесін U жиынындағы функциясының минимум нүктесі деп атаймыз, ал шамасын U жиынындағы функциясының ең кіші мәні немесе минимальды мәні деп атаймыз және келесі түрде белгілейміз .

U жиынындағы функциясының барлық минимум нүктелер жиының деп белгілейміз.

U жиынының және функциясының қасиеттеріне байланысты жиыны бір, бірнеше, шексіз нүктелерден тұруы немесе болуы мүмкін. Бірнеше мысал қарастырайық.

Мысал 1. Айталық, болғанда және болсын. онда

а) болғанда функциясының минимальды мәні 0 болады, ал жиыны бір нүктеден тұрады ;

б) болғанда жиыны үш нүктеден тұрады;

в) болғанда

жиыны саналмалы жиын болады;

г) болғанда функциясының жиынында ең кіші мәні болмайды. Расында да, (мысалы жеткілікті үлкен үшін ) болады. Яғни .

Мысал 2. Айталық, болсын. Мұнда болады, өйткені жиынының барлық нүктелерінде функциясы ақырлы мән қабылдайды. Ал тізбегі үшін болады.

Бірінші мысалда қарастырылған барлық жиында берілген функция төменнен шектелген, ал екінші мысалда функция шектелмеген..

Анықтама 2. Егер үшін шарты орындалатындай қандай да бір М саны табылса, онда үшін функциясы төменнен шектелген деп аталады. Егер болатындай тізбегі бар болса, онда функциясы төменнен шектелмеген деп аталады.

болған жағдайда, функцияның ең төменгі мәні түсінігінің орнына функцияның төменгі шегі түсінігі қолданылады.

Анықтама 3. Айталық, функциясы жиынында төменнен шектелген болсын. Онда саны функциясының жиынындағы төменгі шегі деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:

1) барлық үшін;

2) Кез келген ең аз саны үшін шарты орындалатындай саны табылса.

Егер функциясы жиынында төменнен шектелмеген болса, онда функциясының жиынындағы төменгі шегі ретінде алынады. функциясының жиынындағы төменгі шегін деп белгілейді.

Бірінші мысалды төменгі шек, ал екінші мысалды төменгі шек болады.

Егер болса, онда жиынында функциясының төменгі шегі осы функцияның жиынындағы ең төменгі мәнімен сәйкес келеді, яғни . Бұл жағдайда жиынында функциясы өзінің төменгі шегіне жетеді деп айтады. Мұндағы келесі мәселені ескеру керек: әрқашан бар болады, ал 1 және 2 мысалдардан көрініп тұрғандай бола бермеуі мүмкін.

Келесі екі анықтаманы енгізейік.

Анықтама 4. Егер болса, онда тізбегі жиынында функциясы үшін минимальдаушы тізбек болып табылады.

Осы анықтамадан және төменгі шектің бар болуынан әрқашанда минимальдаушы тізбектің бар екендігі шығады.

Анықтама 5. тізбегі бос емес жиынына жинақталады дейміз, егер бар болса. Мұндағы - нүктесінен жиынына дейінгі ара қашықтық.

Егер болса, онда жинақталатын минимальдаушы тізбек бар болады. Мысалы, келесі станционарлық тізбекті алайық: , мұндағы - -дағы қандай да бір нүкте. Бірақ та болғанда, кез келген минимальдаушы тізбек жинақталады.

Енді жиынында функциясын минимальдаушы есептің тұжырымдамасына көшуге болады. Айталық, жиының және -мен бірге болатын қандай да бір нүктені табу керек. Кез келген минимальдаушы тізбегі жинақталатын есептер классы Вейерштрасс теоремасы деп аталатын келесі теорема арқылы беріледі.

Теоерма 1 (Вейерштрасс теоремасы). Айталық, - тұйық, бос емес және шектелген жиын, ал функциясы жиынында үзіліссіз функция болсын. Онда функциясы жиынында төменнен шектелген, функциясының минимум нүктелерінің жиыны бос емес, тұйық және кез келген минимальдаушы тізбек -ға жинақталады, яғни есептің шешімі бар болады.

Бірінші анықтамада келтірілген минимум нүктесі ғана емес, сонымен бірге локальды минмум нүктесі ізделінетін минимизациялау есебінің қойылуы болуы мүмкін.

Анықтама 6. Егер кез келген нүктесі үшін шарты орындалатындай саны бар болса, онда нүктесін функциясының жиынындағы локальды минимум нүктесі деп атайды және функция мәні болады. Егер бірқатар сандарында нүктелері үшін ( теңдігі тек ғана болғанда орындалатын болса, онда нүкетсін қатан локальды минимум нүктесі деп атайды

Графигі 1-суретте көрсетілген функция үшін нүктелері қатан локальды минимум нүктесі, ал және шарттарын қанағаттандыратын нүктелер локальды минимум нүктелер болады.

Сурет 1. Максимизация есебі

Тапсырма. 1) Функцияны максимизациялау есебінің тұжырымдамасын берініз және 1-сурет бойынша қатан локальды максимум және локальды максимум нүктелерінің анықтамаларын берініз.

2) Жоғарыдан шектелген функция анықтамасын, берілген жиындағы функцияның жоғарғы шегінің анықтамасын және берілген жиындағы шектелген фнкция анықтамасын берініз.

1-анықтама бойынша анықталған локальды минимум нүктелерін функциясының жиынындағы глобальды немесе абсолюттік минимум нүктесі деп те атайды.

Барлық локальды минимум нүктелері глобальды минимум нүктелері болатын функцилар классын анықтайық.

Анықтама 7. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және келесі:

1) (егер ) болғанда, функциясы қатан монотонды кемиді;

2) (егер ) болғанда, функциясы қатан монотонды өседі;

3) болғанда , ;

шарттарын қанғаттандыратын сандары бар болса, онда функциясы кесіндісінде унимодальды функция деп аталады

нүктелерінің біреу немесе екеуі нүкте болатын жағдайлар да кездесуі мүмкін. Дербес жағдайда, егер болса, онда функциясы кесіндісінде қатан унимодальды деп аталады.

Тиімдеу есептерінде нүктелерді таңдаудың әртүрлі екі стратегиясы бар.

Егер барлық нүктелер есептеулерді жүргізудің алдында берілсе, онда пассивті стратегия.

Егер нүктелер алдыңғы есептеулерді ескере отырып, іздеу процессінде тізбектей таңдалатын болса, онда бұл тізбекті стратегия.

Тізбекті стратегияны келесі түрде жүзеге асыруға болады:

а) функцияның бірнеше есептелген мәндері арқылы интерпояциялық полином құрылатын квадраттық немесе кубтық интерполяцияны қолдану арқылы. Ал оның минимумы ізделінді экстремум нүктесінің кезекті жуықтауы болады.

ә) әрқайсысында минимум нүктесі бар болатын, бір біріне кіріктірліген аралықтар тізбегін құру арқылы

Іздеу стратегиясы келесі қадамдардан тұрады:

1. Бастапқы аралықты таңдап алу. анықталмағандық аралығының шекарасы функциясы унимодальды болатындай болу керек.

2. Анықталмағандық аралығын кішірейту.

3. Аяқталу шартының орындалуын тексеру. Ағымдағы

аралығының ұзындығы берілген дәлдіктен кіші болғанда іздеуді тоқтатамыз.