Если - оптимальный процесс для задачи (76)-(79), то найдутся множители Лагранжа , и , не равные одновременно нулю и такие, что для функционала (80) выполняются условия:

1. стационарности по :

; (81)

2. условия трансверсальности по

(82)

3. условия стационарности по

(83)

4. принцип максимума по

(84)

5. условие согласованности знаков с соотношениями (77) и (78): если при некотором в соотношении (77) (или при некотором в соотношении (78)) стоит знак , то соответствующее (); при тех и , у которых в соотношениях (77) и (78) стоят знаки равенства, знаки и могут быть произвольными;

6. условия дополняющей нежесткости:

(85)

Нужно отметить, что при соответствующем выборе фазовых координат и управления принцип максимума Понтрягина может быть использован для решения почти всех задач классического вариационного исчисления, однако область его применения гораздо шире [17].

При рассмотрении многих задач полезно применять функцию Понтрягина [18]

. (86)

С ее помощью системы уравнений (76) и (81) могут быть записаны в виде

. (87)

А принцип максимума по (условие (85)) принимает вид

. (88)

Пример [18]. Найти оптимальный управляемый процесс в задаче

Решение. Составим функции Лагранжа

Отсюда и из условия (81) находим: .

Пусть , тогда . А из условия (см. условия (82)) следует, что и .

Поэтому , а так, как согласно условию (84), , то

Поэтому из уравнения связи , , находим

Однако по условиям задачи , что противоречит полученному выражению для . Поэтому .

Возьмем . Тогда .

Учитывая, что , находим .

Из уравнения Эйлера получаем

Пусть . Так как

,

то при выполняется неравенство и, учитывая (84), имеем , что противоречит условию . Следовательно, .

Если взять , то при всех и, следовательно, , что противоречит условию .

Итак, . Тогда

и, согласно принципу максимума (84), получаем

где - достаточно малое число.

Теперь из уравнения связи находим

Функция непрерывна на отрезке , поэтому существует такая точка , в которой оба полученных выражения для равны между собой, т.е. , откуда . Итак,

Воспользовавшись уравнением связи и условием , найдем

, если ,

, если .

В силу непрерывности при имеем равенство , откуда и окончательно