Допустим, математическая модель некоторого процесса характеризуется зависящими от времени фазовыми координатами , поведение которых описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений [17]

, (76)

где - параметры управления, определяющие ход процесса.

Будем считать, что допустимые управления содержатся в некотором множестве , и в этом множестве существует управление

,

переводящее управляемый объект из начального состояния

в конечное состояние

.

Пусть начальное и конечное состояния удовлетворяют краевым условиям

, (77)

а фазовые координаты и управление подчинены изопериметричеким ограничениям

. (78)

Предположим также, что функционал

. (79)

выражает некоторую характеристику процесса, которую условно рассматривают как цель, цену или качество процесса.

Задача оптимального управления заключается в отыскании в множестве такого управления

,

которое осуществляет переход управляемого объекта, поведение которого описывается системой (76), из состояния в состояние при выполнении краевых условий (77) и изопериматрических ограничений (78) таким образом, чтобы функционал (79) достигал экстремального значения. Для определенности будем говорить о минимуме функционала (79).

Определение 1. Четверку называют управляемым процессом в задаче оптимального управления (76)-(79), если

а) управление - кусочно-непрерывная функция на отрезке , принадлежащая множеству ;

б) фазовая траектория непрерывна на отрезке ;

в) для всех , кроме быть может точек разрыва управления , функции удовлетворяют системе уравнений (76).

Определение 2. Управляемый процесс называется допустимым, если удовлетворяются условия (77) и (78).

Определение 3. Допустимый управляемый процесс называется оптимальным, если найдется такое , что для всякого допустимого процесса такого, что

, ,

при , выполняется неравенство

.

Необходимые условия экстремума задачи оптимального управления, позволяющие определять оптимальный управляемый процесс, если он существует, были получены Л.С. Понтрягиным и носят название принципа максимума Понтрягина [17]. Для формулировки этого принципа предположим, что и , - некоторые постоянные векторы, а - кусочно-гладкая на вектор-функция.

Введем функции Лагранжа

,

и функционал

. (80)

Пусть существует оптимальный управляемый процесс

.

Для произвольной функции введем обозначение

.

Сформулируем принцип максимума Понтрягина.