Пусть дана задача нелинейного программирования

(45)

Один из подходов к решению задачи (45) основан на замене этой задачи последовательностью задач безусловной минимизации [1], [7]

(46)

где - функции, которые с ростом во все большей степени учитывают ограничения, определяющие допустимое множество исходной задачи.

В методе барьерных функций функции выбираются таким образом, чтобы при больших функции из (46) мало отличалась от во внутренних точках допустимого множества . И в тоже время, при приближении точки к границе множества , эти функции неограниченно возрастали.

Определение. Пусть - заданное множество. Последовательность функций , определенных во всех внутренних точках множества , называется последовательностью барьерных функций этого множества, если выполняются следующие условия:

1. для любой фиксированной внутренней точки ;

2. для любой последовательности внутренних точек множества , сходящейся к какой-либо граничной точке этого множества.

Рассмотрим один из вариантов метода барьерных функций, применимый для решения следующей задачи нелинейного программирования:

(47)

Положим

(48)

где

(49)

или

(50)

Равенства (48), (49) или (48), (50) определяют последовательность барьерных функций допустимого множества задачи (47).

Пусть - решение задачи безусловной минимизации (46), в которой функция определена равенствами (48), (49) или (48), (50). Полагая

,

для достаточно большого , находим приближенное решение задачи нелинейного программирования (47) методом барьерных функций.

Критерием достижения требуемой точности решения поставленной задачи может служить неравенство

где - четное число.

Пример 7. Методом барьерных функций решить следующую задачу нелинейного программирования, полагая при :

Решение. Используем последовательность барьерных функций (48), (50). Тогда вспомогательная задача принимает вид

.

Подставляя функции , в эту задачу, будем иметь

.

Решая полученную задачу методом Ньютона при и , получаем

,

.

Так как , полагаем

,

.