Наряду с задачами на безусловный экстремум имеется немало задач, в которых переменные не могут быть совершенно произвольными и должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям. Эти дополнительные условия выражают, например, условие неотрицательности тех или иных переменных, условия ограниченности тех или иных ресурсов, условия нормировки, ограничения на параметры конструкции системы и т.д.

Определение 1 [1]. Если в задаче определения экстремума функции переменные принадлежат некоторому заданному множеству , причем , то такую задачу называют задачей на условный экстремум.

, .

Ограничения

, …, (28)

принято называть ограничениями типа равенств.

В задачах на условный экстремум дополнительные условия могут задаваться только в виде неравенств

. (29)

То есть, надо найти экстремум функции при ограничениях типа неравенств (29).

Если в задаче поиска экстремумов функции дополнительные условия задаются как в виде (28), так и в виде (29), то такая задача называется задачей с ограничениями смешанного типа.

2. Проекция точки на множество. При описании метода проекции градиента нам понадобится понятие проекции точки на множество.

Определение 2. Пусть . Проекцией точки из на множество называется ближайшая к точка множества , т.е. точка , удовлетворяющая условию .

Проекцию точки на множество будем обозначать через .

Так как - расстояние от точки до множества , то из определения следует, что

, , .

Если , то, очевидно, что всегда .

Однако проекция точки на множество существует не всегда.

Пример 1. Если - открытый шар радиуса с центром в точке в , то ни одна точка не будет иметь проекции на это множество.

Однако если множество замкнуто, то любая точка имеет проекцию на .

Проекция точки на множество может определяться неоднозначно. Но, как показывает следующая теорема, для выпуклых множеств такая ситуация невозможна [1], [7].

Теорема 1. Пусть - выпуклое множество из . Тогда 1) всякая точка имеет, и притом единственную, проекцию на это множество; 2) для того чтобы точка была проекцией точки на множество , необходимо и достаточно выполнение неравенства для любой точки .

Приведем примеры множеств, проекция точки на которые может быть выписана явно [7].

Пример 2. Пусть - замкнутый шар радиуса с центром в точке . Из геометрических соображений ясно, что проекцией точки является точка .

Пример 3. Пусть множество

есть -мерный параллелепипед. Здесь , - заданные числа, , .

Пусть . Проекцией точки на множество является точка , координаты которой определяются по формуле