Сформулируем необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных [1]-[5].

Пусть дифференцируема во всех точках . Тогда точками локального экстремума функции на могут быть лишь те точки , в которых , что в силу (12) можно записать в виде системы уравнений

, . (15)

Определение 5. Все точки , удовлетворяющие системе (15), называются стационарными точками функции .

Таким образом, поиск точек экстремума функции можно начинать с решения системы (15) и определения всех стационарных точек функции .

Однако не всякая стационарная точка является точкой локального экстремума. Например, для функции точка (0, 0) есть стационарная точка, но экстремума функции в этой точке нет: в любой как угодно малой окрестности точки (0, 0) функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Поэтому необходимо провести дополнительные исследования, и среди стационарных точек отобрать те точки, которые в самом деле являются точками экстремума.

Теорема 2 (достаточные условия локального экстремума).

Пусть дважды дифференцируема в -окрестности стационарной точки , т.е. . Тогда:

а) если в стационарной точке квадратичная форма

- положительно определена, т.е.

,

то - точка локального минимума функции ;

б) если в стационарной точке квадратичная форма - отрицательно определена, т.е.

,

то - точка локального максимума функции ;

в) если в стационарной точке квадратичная форма знакопеременна, т.е. может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то в точке функция не имеет ни локального минимума, ни локального максимума.

Существует критерий проверки квадратичной формы на знак.

Критерий Сильвестра. 1) Квадратичная форма будет положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы A положительны.

2) Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров чередуются, причем , т.е. .

Таким образом, для проверки знакоопределенности квадратичной формы , достаточно вычислить угловые миноры матрицы вида (14) и исследовать их знаки.

В том случае, когда в стационарной точке знак квадратичной формы не меняется при всех , но может равняться нулю при некотором , то для выяснения поведения функции в окрестности стационарной точки , нужно привлечь старшие производные и связанные с ними формы более высокого порядка.

В тех случаях, когда указанным методом удается выявить все точки локального минимума (локального максимума) функции , то для определения глобального минимума (глобального максимума) этой функции на всем пространстве нужно перебрать все точки локального минимума (локального максимума) и из них выбрать точку с наименьшим (наибольшим) значением функции.

Задачу поиска экстремума функции на всем пространстве принято называть задачей на безусловный экстремум.