Существует более эффективный метод минимизации унимодальных функций – метод золотого сечения. Прежде чем рассмотреть этот метод, введем понятие золотого сечения [10].

Определение 1. Золотым сечением называется такое деление отрезка точкой на две неравные части (рис. 3), при котором длина большей части является средней пропорциональной между длиной всего отрезка и длиной меньшей его части, т.е.

.

Рис. 3. Определение "золотого" сечения

На любом отрезке существуют две такие точки (рис. 4), причем для второй точки справедливо следующее соотношение:

Рис. 4. Деление отрезка

Точки и определяются следующими равенствами

, (3)

Каждая из этих точек осуществляет золотое сечение отрезка . Кроме того, точка осуществляет золотое сечение отрезка , а точка - золотое сечение отрезка .

Затем определяются значения , , которые затем сравниваются между собой. Если

1) , то полагают , , , а определяется по формуле (2);

2) , то полагают , , , а определяется по формуле (3).

Отсюда видно, что на каждом шаге метода золотого сечения нужно вычислять значение функции только один раз, что и определяет меньшую трудоемкость вычислений с заданной точностью. Таким образом, метод золотого сечения является более точным и эффективным, чем метод деления отрезка пополам.

Если повторить подобные операции раз, то найдем отрезок длины , на котором расположена точка . Полагая , получим, что погрешность определения точки не будет превышать числа . Число принимается за минимальное значение функции на .

Вывод. С помощью методов, рассмотренных выше, для функции на отрезке была построена минимизирующая последовательность, сходящаяся к множеству .

Пример 2. Определить минимальное значение функции

на отрезке [0,1]. Точку найти с абсолютной погрешностью

Решение. По формулам (2), (3) находим c = 0,382, d = 0,618. Вычисляем

Так как то . Так как величина то выбираем и по формулам (2) и (3) находим Учитывая, что

имеем . Так как величина то выбираем . Вычисляем Так как то заключаем, что . Аналогично находим

Следовательно, . Далее вычисляем

Следовательно, . Так как величина то вычисления окончены.

Вычисления удобно записывать в виде таблицы:

Таблица 1

Полагаем и .